\begingroup\makeatletter\@firstofone{\endgroup
\let\ps@empty\ps@headings \let\ps@plain\ps@headings}
\pagestyle{headings}

\subsection{A krisztallit mérethatás profilfüggvénye}\bigskip


A krisztallitok méretébõl eredõ vonalprofil alakot úgy kaphatjuk meg, hogy a polikristályos anyagban vesszük az adott diffrakciós csúcsba intenzitást adó szemcséket, majd gondolatban ezeket a diffrakciós vektorral ($\textbf{s}$) párhuzamosan infinitezimális keresztmetszetû oszlopokra vágjuk \cite{guinier}. Az így kapott oszlopok egy adott $hkl$ indexû diffrakciós csúcs esetén merõlegesek lesznek a $(hkl)$ Miller indexû rácssíkokra (\ref{fig:szemcse}. ábra).
\begin{figure} [h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm,angle=0]{szemcsek.eps}
\parbox{13cm}{\caption{\footnotesize{A reflektáló szemcsék oszlopokra bontása a diffrakciós vektorral (${\bf s}$) párhuzamosan.}}\label{fig:szemcse}}
\end{center}
\end{figure}

Ekkor az intenzitás profil Guinier munkája nyomán \cite{guinier}:
\begin{equation}
I(s)=\int^{\infty}_{0}\frac{\sin^2(M\pi s)}{M(\pi s)^2}g(M)dM, 
\label{3egyenlet}
\end{equation}
ahol $M$ az oszlophossz, $s=\Delta(2\theta)/\lambda$, $g(M)$ az oszlopméret eloszlás sûrûségfüggvénye, azaz azoknak az oszlopoknak a relatív hányada, melyek hossza $M$ és $M+dM$ közé esik.  
Adott szemcsealak és szemcseméret eloszlás esetén a profilokat úgy határozhatjuk meg, hogy a $g(M)$ függvényt kifejezzük az $f(x)$ szemcseméret eloszlás sûrûségfüggvényével. Ez a kapcsolat függ a krisztallitok alakjától, gömb alakú szemcsék esetén:
\begin{equation}
g(M)=NM^2\int^{\infty}_{M} f(x)dx,
\label{4egyenlet}
\end{equation}
ahol $N$ egy normálási tényezõ.
A valószínûségszámítás módszereivel belátható, hogy a mechanikai úton porított krisztallitok mérete lognormális eloszlású \cite{chow}. A tapasztalat szerint a legtöbb mechanikai úton deformált polikristályos anyag krisztallit méretére is érvényes a lognormális eloszlás \cite{krill}\cite{UT1}\cite{tervili}:
\begin{equation}
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\frac{1}{x} \exp \left[{-\frac{(\ln(x/m))^2}{2\sigma^2}}\right],
\label{5egyenlet}
\end{equation}
ahol $m$ és $\sigma$ a lognormális eloszlásra jellemzõ paraméterek. A lognormális eloszlás két paraméterébõl a következõ átlagos szemcseméretek határozhatók meg:

A szemcseátmérõk felülettel súlyozott átlaga:
\begin{equation}
\left\langle x\right\rangle_{area}=m\cdot e^{2.5\sigma^2}.
\label{6egyenlet}
\end{equation}

A szemcseátmérõk térfogattal súlyozott átlaga:
\begin{equation}
\left\langle x\right\rangle_{vol}=m\cdot e^{3.5\sigma^2}.
\label{7egyenlet}
\end{equation}
A (\ref{4egyenlet}) és (\ref{5egyenlet}) egyenleteket behelyettesítve (\ref{3egyenlet})-ba a vonalprofil alakja \cite{ribarik1}\cite{ungar1}:
\begin{equation}
I^S(s)=\int^{\infty}_{0}M\frac{\sin^2(M\pi s)}{2(\pi s)^2}erfc\left[\frac{(\ln(M/m))}{\sqrt{2}\sigma} \right]dM,
\label{8egyenlet}
\end{equation}
ahol
\begin{equation}
erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int^{\infty}_{x}e^{-t^2}dt,
\label{9egyenlet}
\end{equation}
$m$ és $\sigma$ a lognormális eloszlású krisztallit paraméterei, az intenzitásprofil csak e két paraméter függvénye.

A (\ref{8egyenlet})  profilalak fontos jellemzõje, hogy független a $hkl$ Miller-indexektõl, tehát a gömbszerû krisztallitok méretébõl származó járulék mindegyik reflexió esetén ugyanaz.
Felírjuk még a (\ref{8egyenlet})  egyenlet Fourier-transzformáltját is \cite{ribarik1}\cite{ungar1}:
\begin{eqnarray}
A^S(L)&=&\frac{m^3\exp{[(9/4)(2^{1/2}\sigma)^2]}}{3}\textrm{erfc}\left[\frac{\ln{(|L|/m)}}{2^{1/2}\sigma}-\frac{3}{2}2^{1/2}\sigma \right]- \nonumber\\
&-&\frac{m^2\exp{(2^{1/2}\sigma)^2}}{2}|L|\textrm{erfc}\left[\frac{\ln{(|L|/m)}}{2^{1/2}\sigma}-2^{1/2}\sigma \right]+ \nonumber\\
&+&\frac{|L|^3}{6}\textrm{erfc}\left[\frac{\ln{(|L|/m)}}{2^{1/2}\sigma}\right],
\label{10egyenlet}
\end{eqnarray}
melyet az $L=0$ helyen vett értékével kell normálni:
\begin{eqnarray}
A^S(0)=\frac{2m^3\exp{[(9/4)(2^{1/2}\sigma)^2]}}{3}.
\label{11egyenlet}
\end{eqnarray}
