\begingroup\makeatletter\@firstofone{\endgroup
\let\ps@empty\ps@headings \let\ps@plain\ps@headings}
\pagestyle{headings}

\subsection{A diszlokációk okozta vonalszélesedés profilfüggvénye}\bigskip

A kristályos anyagok képlékeny deformációja elsõsorban diszlokációs mechanizmusok révén megy végbe, ezért ebben a fejezetben bemutatom, hogy a diszlokációknak milyen hatása van a vonalprofilra. Vannak esetek, amikor a plasztikus alakváltozásban az ikresedés is szerepet játszik, errõl a következõ fejezetben lesz szó. 

Az anyagban lévõ rácsdeformációk által okozott vonalprofil függvény Fourier transzformáltja a következõ formulával adható meg \cite{kri}:
\begin{equation}
A(L)= \exp{\left(-2\pi^2g^2L^2\left<\varepsilon^2_{L,g}\right>\right)},
\label{12egyenlet}
\end{equation}
ahol $L$ a Fourier változó, $g$ a diffrakciós vektor abszolút értéke, $\left<\varepsilon^2_{L,g}\right>$ pedig a diffrakciós vektor irányú deformáció négyzetének az átlaga. Az $\left<\varepsilon^2_{L,g}\right>$  mennyiség pontosabb megértéséhez tekintsünk egy tökéletes kristályt, ahol a rácspontok szabályos rendben helyezkednek el (\ref{fig:deform}. ábra). Szemeljünk ki két olyan A és B pontot a rácsban, melyeket összekötõ szakasz merõleges a $(hkl)$ rácssíkokra és a távolságuk $l$.
\begin{figure} [h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm,angle=0]{deform.eps}
\parbox{13cm}{\caption{\footnotesize{A rácsdeformáció jellemzése a diffrakciós vektorral (${\bf g}$) párhuzamosan.}}\label{fig:deform}}
\end{center}
\end{figure}
A valódi kristályban a rácshibák okozta rácsdeformációk miatt e két pont pozíciója eltér az ideálistól. Vegyük a reális kristályban a két pontot összekötõ szakasz  $\textbf{g}$-vel párhuzamos $l'$vetületét. Ha az $l-l'$ különbséget elosztjuk $l$-lel, akkor megkapjuk a kristály egy adott helyére jellemzõ rácsdeformáció értékét. Ha ezt négyzetre emeljük és kiátlagoljuk a $hkl$ csúcsba röntgensugarakat szóró térfogatban, akkor megkapjuk $\left<\varepsilon^2_{L,g}\right>$ értékét. Ez a mennyiség határozza meg a vonalprofil szélesedését, minél nagyobb a deformáció mértéke, annál szélesebb lesz a diffrakciós csúcs.

A rácsdeformációt okozó rácshibák közül a ponthibák deformációs tere viszonylag rövidtávú, mert nagyjából a hibától számított távolság köbének reciprokával csökken, így a hibától távolodva hamar lecseng. Ezzel szemben a diszlokációk okozta rugalmas deformáció a távolság reciprokával változik, így az egy hosszú hatótávolságú tér. A reciproktér és a kristálytér reciprocitása miatt a ponthibáktól eredõ szórás a Bragg csúcs közelében nem ad lényeges járulékot, míg a diszlokációk deformációs tere jól mérhetõ szélesedést okoz a diffrakciós csúcsban. Ha a rácstorzulást diszlokációk okozzák, a deformáció négyzet átlaga a következõ formulával adható meg \cite{kri}:
\begin{equation}
\left<\varepsilon^2_{L,g}\right> = \left(\frac{b}{2\pi}\right)^2\pi\rho C f^*\left(\frac{L}{R_e^*}\right),
\label{13egyenlet}
\end{equation}
ahol $b$ a Burgers vektor abszolút értéke, $\rho$ a diszlokáció sûrûség, $C$ a ún. diszlokáció kontraszt faktor, $ R_e^*$ a diszlokációk külsõ levágási sugara és $ f^*$ a Wilkens függvény, menynek alakja a következõ \cite{wilkens}:
\begin{eqnarray}
f^*(\eta)&=&-\log\eta+\left(\frac{7}{4}-\log2\right)+\frac{512}{90\pi}\frac{1}{\eta}+\frac{2}{\pi}\left[1-\frac{1}{4\eta^2}\right] \int^{\eta}_{0}\frac{\arcsin{V}}{V}dV-\nonumber\\
&&-\frac{1}{\pi}\left[\frac{769}{180\eta}+\frac{41}{90}\eta+\frac{2}{90}\eta^3\right]\sqrt{1-\eta^2}-\nonumber\\
&&-\frac{1}{\pi}\left[\frac{11}{12}\frac{1}{\eta^2}+\frac{7}{2}+\frac{1}{3}\eta^2\right]\arcsin{\eta}+\frac{1}{6}\eta^2, \makebox[3cm][r]{ ha $\eta\leq1$}\nonumber\\
f^*(\eta)&=&\frac{512}{90\pi}\frac{1}{\eta}-\left[\frac{11}{24}+\frac{1}{4}\log{2\eta}\right]\frac{1}{\eta^2}, \makebox[4.8cm][r]{ha $\eta\geq1$}
\label{14egyenlet}
\end{eqnarray}
A (\ref{13egyenlet}) egyenletet behelyettesítve a (\ref{12egyenlet}) formulába tehát a diszlokációk okozta vonalszélesedés profilfüggvényének Fourier transzformáltja:
\begin{equation}
A(L)= e^{-2\pi^2g^2L^2\left(\frac{b}{2\pi}\right)^2\pi\rho C f^*\left(\frac{L}{R_e^*}\right)}.
\label{15egyenlet}
\end{equation}  

Az egyes diszlokációk $C$ kontrasztfaktora kifejezi, hogy a diszlokációk anizotróp deformációs tere miatt a vonalprofil szélesedés a Burgers vektor, a diszlokáció vonalvektora és a diffrakciós vektor egymáshoz viszonyított állásától is függ. Ez azt jelenti, hogy ugyanaz a diszlokáció szerkezet a különbözõ indexû diffrakciós csúcsok eltérõ mértékû kiszélesedését eredményezi. Ezt a jelenséget deformációs anizotrópiának nevezzük \cite{groma}\cite{ungar2}. Textúramentes polikristályos anyag esetén a különbözõ irányú diszlokációk vonalkiszélesedésére gyakorolt hatása kiátlagolódik.  Ebben az esetben a profilfüggvényben a diszlokáció populációra számolt átlagos kontrasztfaktort, $\overline{C}_{hkl}$-t kell használni. Az átlagos kontrasztfaktor köbös kristályokban az alábbi módon adható meg \cite{ungar3}:
\begin{equation}
\overline{C}_{hkl}=C_{h00}(1-qH^2), 
\label{16egyenlet}
\end{equation}
\begin{equation}
\makebox[1cm][l]{ahol} H^2=\frac{h^2k^2+h^2l^2+k^2l^2}{(h^2+k^2+l^2)^2},
\label{17egyenlet}
\end{equation}
míg hexagonális kristályok esetén:
\begin{equation}
\overline{C}_{hkl}=C_{hk0}(1+a_1H_1^2+a_2H_2^2), 
\label{18egyenlet}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\makebox[1cm][l]{ahol}H_1^2&=& \frac{(h^2+k^2+(h+k)^2)l^2}{(h^2+k^2+(h+k)^2+ \frac{3}{2}(\frac{a}{c})^2l^2)^2},\nonumber\\
H_2^2&=& \frac{l^4}{(h^2+k^2+(h+k)^2+ \frac{3}{2} (\frac{a}{c})^2l^2)^2}.
\label{19egyenlet}
\end{eqnarray} 
$\overline{C}_{h00}$ és $\overline{C}_{hk0}$ a köbös illetve a hexagonális kristály rugalmas állandóiból származtatható állandók, $a$ és $c$ a hexagonális kristály rácsállandói, $hkl$ a diffrakciós csúcs Miller indexei. A $q$ paraméter értéke a köbös kristályban a diszlokációk él vagy csavar jellegérõl ad információt, az $a_1$ és $a_2$ paraméterekbõl pedig a hexagonális kristályban lévõ diszlokációk Burgers vektor típusainak arányára lehet következtetni.       