\begingroup\makeatletter\@firstofone{\endgroup
\let\ps@empty\ps@headings \let\ps@plain\ps@headings}
\pagestyle{headings}

\subsection{Az ikresedés hatása}\bigskip

Az ikresedés egy olyan síkhiba, amely úgy néz ki, hogy egy sík két oldalán a kristályszerkezet önmaga tükörképe (\ref{fig:twins}. ábra). Egy ikresedett kristályban a kristály és ikerkristálya felváltva követik egymást, megbontva a rendszer eltolási szimmetriáját minden ikerhatárnál. Hexagonális fémek esetén a négy piramidális sík mentén jöhet létre ikresedés a legnagyobb valószínûséggel (\ref{fig:twins}. ábra). 
\begin{figure} [h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=15cm,angle=0]{twins.eps}
\parbox{15cm}{\caption{\footnotesize{Ikresedés hexagonális rendszerben. A jobb oldali ábrán jól látható, hogy a kristály és az ikerkristály egymás tükörképei, a bal oldali ábrán pedig hogy hogyan alakul ki az ikresedés \textit{hcp} rendszerben egy piramidális síkon.}}\label{fig:twins}}
\end{center}
\end{figure}
Az anyag képlékeny deformációja általában diszlokációs mechanizmusokkal megy végbe, azonban vannak esetek, amikor a képlékeny alakításban az ikresedés is szerephez jut. Köbös fémek esetében a síkhibák akkor játszanak fontos szerepet, amikor a rétegzõdési hiba energia kicsi, míg hexagonális szerkezetû fémek esetén eleve nincs meg a képlékeny alakváltozás kompatibilitásához szükséges legalább öt csúszási rendszer \cite{chun}\cite{UT2}, ezért ezekben a fémekben az ikerképzõdés a képlékeny deformáció egyik alapvetõ mechanizmusa. A hexagonális fémekben alacsony hõmérsékleten a bazális Burgers vektorú diszlokációk és a deformációs ikresedés vesznek részt a képlékeny alakításban, a prizmatikus és piramidális diszlokációk nem aktiválódnak. Magasabb hõmérsékleten a prizmatikus és piramidális diszlokációs mechanizmus átveszi a deformációs ikresedés szerepét \cite{chun}\cite{UT2}.

A hexagonális szerkezetû anyagokban tehát a diszlokációs mechanizmusokon kívül az ikresedés játszhat még fontos szerepet a képlékeny deformáció létrejöttében, ezért a következõ fejezetben bemutatom, hogy a hexagonális anyagokban elõforduló ikerhibáknak milyen hatása van a röntgen vonalprofilokra.

\subsubsection{Az ikresedés okozta vonalszélesedés profilfüggvénye \textit{hcp} fémekben}\bigskip

Az ikresedés hatása a vonalprofilokra hexagonális rendszerek esetén csak az utóbbi idõben lett kidolgozva \cite{levente}, ezért ezt a témakört részletesebben mutatom be Dr. Balogh Levente munkája nyomán. 

Az ikerhibák mennyiségét az ikerhatár sûrûséggel jellemezzük, amit az irodalomban $\beta$-val szoktak jelölni. Az ikerhatár sûrûséget az alábbi módon definiáljuk:
\begin{equation}
\beta=\frac {N_{PF}}{N},
\label{20egyenlet}
\end{equation}
ahol $N_{PF}$ az ikerhatárok száma N kristálysíknyi távolságon. 

Az ikerhibák a kristály hosszú távú rendjét csak egy adott irányban, az ikresedés síkjára merõlegesen bontják meg. Ennek következtében a reciprok rácspontok csak az ikerhiba síkjára merõleges egyenesek mentén szélesednek ki. Az angol nyelvû irodalomban ezt a jelenséget streaking-nek nevezik. Az ikresedés hatásának vizsgálata céljából érdemes a streaking jelenségéhez illeszkedõ koordináta rendszert választani, mely a reciprok térben úgy néz ki, hogy az egyik bázisvektora párhuzamos a steaking irányával. A valós térben ennek megfelelõen a kristály-koordinátarendszer két bázisvektorának az ikresedés síkjában kell lennie. Ez alapján mind a négy $hcp$ ikerhiba típus esetében bevezethetõ egy olyan triklin kristály-koordináta rendszer, amelynek a bázisa három lineárisan független rácsvektor, melyekbõl kettõ párhuzamos az ikresedés síkjával. Jelölje $HKL$ a triklin koordinátarendszerbeli Miller-indexeket. 

Az ikresedés vonalprofilokra gyakorolt hatásának tárgyalásakor feltesszük, hogy az ikresedés véletlenszerû, ami azt jelenti, hogy a jelenlévõ ikerhiba sûrûség nem befolyásolja a további ikerhibák létrejöttének valószínûségét. Az egymást követõ kristály és ikerkristály tartományokat lamelláknak nevezzük \cite{levi}, ezek mérete és helyzete függ a többi lamella méretétõl és helyzetétõl. Az ikresedés véletlenszerû jellegét kihasználva meghatározhatjuk a lamellák méreteloszlását. Legyen $\beta$ annak a valószínûsége, hogy egy adott sík ikerhatár, ezt $\beta$ valószínûséget definiáljuk ikerhatár sûrûségként. Egy $n$ rétegbõl álló hibamentes tartományhoz $n-1$ egymást követõ síknak kell hibamentesnek lennie, az $n$-ik síknak pedig ikerhibának kell lennie. Ezzel annak a valószínûsége, hogy egy lamella $n$ hosszúságú:
\begin{equation}
W_n(\beta)=\beta(1-\beta)^{n-1}, 
\label{21egyenlet}
\end{equation}
ahol $n \in \mathbb{N}$, $0<\beta<1$,
\begin{eqnarray}
\sum^{\infty}_{n=1} W_n(\beta)=1.\nonumber
\end{eqnarray}
Az $W_n(\beta)$ az ún. negatív binomiális eloszlások osztályába tartozó függvény, amely néhány $\beta$ esetén a \ref{fig:neg-binom}. ábrán látható. Két ikerhiba közötti átlagos távolság, vagyis a lamellák átlagos átlagos $n$ vastagsága:
\begin{equation}
\sum^{\infty}_{n=1} nW_n(\beta)=\frac {1}{\beta},
\label{22egyenlet}
\end{equation}
vagyis az ikerhatárok közti átlagos távolság az ikresedés valószínûségének a reciproka.
\begin{figure} [h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm,angle=0]{neg-binom.eps}
\parbox{13cm}{\caption{\footnotesize{A lamellák méreteloszlása néhány $\beta$ esetén.}}\label{fig:neg-binom}}
\end{center}
\end{figure}

Tekintsük az ikresedett kristályt egymástól független lamellák összességének. Legyen $x$ az ikresedés síkjára merõleges irány, a lamellákat pedig írjuk le egy $\sigma(x)$ ablakfügvénnyel:
\begin{equation}
\sigma(x)=\begin{cases}
0 & \text{,ha $x< -\frac{Dn}{2}$}\\
1 & \text{,ha $-\frac{Dn}{2} \leq x \leq\frac {Dn}{2}$}\\
0 & \text{,ha $x>-\frac{Dn}{2}$},
\end{cases}
\label{23egyenlet}
\end{equation}
vagy Heaviside függvénnyel felírva:
\begin{equation}
\sigma(x)= H(x+Dn)-H(x),
\label{24egyenlet}
\end{equation}
ahol $D$ az ikresedett síkok távolsága.

Legyen $q$ az ikresedés síkjára merõleges reciprok tér koordinátája. A lamellák a reciprok rácspontokat a $q$ irányban fogják szélesíteni. Egy $Dn$ vastagságú lamellától származó szórt amplitúdó függvényt az ablakfüggvény Fourier transzformálásával kapjuk:
\begin{equation}
A_D(q)= \int^{\infty}_{-\infty}e^{-iqx}s(x)dx=\frac {2 \sin (qDn/2)}{q}.
\label{25egyenlet}
\end{equation}
A $Dn$ méretû lamellától származó szórt intenzitás:
\begin{equation}
I_D(q)= A_D(q) A_D(q)^{ \ast}=\frac {4 \sin ^2(qDn/2)}{q^2}.
\label{26egyenlet}
\end{equation}
A teljes szórt intenzitást úgy kapjuk, hogy az összes lamelláról szóródó intenzitásokat összeadjuk. Az összegzéskor súlyozni kell a $Dn$ lamellák járulékát a $W_n(\beta)$ elõfordulási valószínûségükkel, ami tartalmazza az ikerhatár sûrûséget. A teljes intenzitás profilfüggvénye:
\begin{equation}
I(q)= \sum^{\infty}_{n=1}W_n(\beta)I_D(q)=\frac {4\left( \cos^2\left( \frac{1}{2}qD \right)\beta-2\cos^2\left( \frac{1}{2}qD\right)-\beta+2  \right)}{ q^2 \left(   4+4\cos^2 \left(  \frac{1}{2}qD\right)\beta-4\beta+\beta^2-4\cos^2 \left(  \frac{1}{2}qD\right)     \right) }. 
\label{27egyenlet}
\end{equation}
A $\cos^2(qD/2)$ függvényt Taylor sorba fejtve az intenzitás profilra egy Lorentz függvény adódik:
\begin{equation}
I(q)=\frac{D^2(\beta-2)}{q^2D^2(\beta-1)-\beta^2}=\frac{I_0}{1+\frac{4q^2}{(FWHM_q)^2}},
\label{28egyenlet}
\end{equation}
aminek félértékszélessége:
\begin{equation}
FWHM_q=\frac {2\beta}{D\sqrt{1-\beta}}.
\label{29egyenlet}
\end{equation} 
A relatív eltérés a (\ref{27egyenlet}) és a (\ref{28egyenlet}) profilalak között kisebb mint $10^{-5}$. A $q$ változó helyett bevezetjük a dimenziótlan $L$ változót, ami a triklin koordinátarendszer harmadik Miller-indexe.
\begin{equation}
L=\frac {q}{q_0},
\label{30egyenlet}
\end{equation} 
ahol $q_0$ állandó. Ezzel a változóval a profilalak és annak félértékszélessége a következõ:
\begin{equation}
I(L)=\frac{I_0}{1+\frac{4L^2}{(FWHM_{triklin})^2}},
\label{31egyenlet}
\end{equation} 
\begin{equation}
FWHM_{triklin}=\frac {2\beta}{D_{tri}\sqrt{1-\beta}},
\label{32egyenlet}
\end{equation} 
ahol $D_{tri}$ egy konstans.

Ez a modell, mely a lamellákat egymástól függetlennek tekintette, tovább finomítható azáltal, hogy kiegészítjük a modellt két fontos tulajdonsággal. Az egyik, hogy két szomszédos lamella egymás tükörképe az ikerhatárra nézve, a másik, hogy a lamellák térbeli helyzete nem véletlenszerû, ugyanis ezek egymás mellett helyezkednek el, emiatt a különbözõ lamellákról szóródó hullámok koherensen szóródnak. Tekintsük a kristályt olyan kettõs lamellák összességének, melynek egyik oldala a kristály, a másik oldala az ikerkristály és e két oldal nem független egymástól. Ebben a közelítésben csak a kristály és a szomszédos ikerkristály lamella van összekapcsolva, a magasabb rendû szomszédok azonban függetlenek. Ez a javított közelítés már jól írja le az ikresedéshez tartozó profilfüggvényt \cite{levi}.

Legyen a kristály oldal lamellájának vastagsága $Dn_p$, az ikerkristály oldaláé $Dn_t$. A kettõs lamellát az $s_p(x)$ és a $s_t(x)$ ablakfüggvényekkel modellezzük:
\begin{equation}
s_p(x)=H(x+n_pD)-H(x),
\label{33egyenlet}
\end{equation}
\begin{equation}
s_t(x)=H(x)-H(x-n_tD),
\label{34egyenlet}
\end{equation}
ahol $H$ a Heaviside függvény. A kristály és ikerkristály $W_{n_p}(\beta)$ és $W_{n_t}(\beta)$ méreteit a binomiális eloszlások adják:
\begin{equation}
W_{n_p}(\beta)=\beta(1-\beta)^{n_p-1},
\label{35egyenlet}
\end{equation}
\begin{equation}
W_{n_t}(\beta)=\beta(1-\beta)^{n_t-1}.
\label{36egyenlet}
\end{equation}
A szórt hullám amplitúdóját most is Fourier transzformálással kapjuk, a kristály oldaltól származó amplitúdó:
\begin{equation}
A_{D_p}(L-L_p)=\frac {2 \sin ((L-L_p)q_0Dn_p/2)}{(L-L_p)q_0}e^{i\frac {1}{2}(L-L_p)q_0Dn_p}.
\label{37egyenlet}
\end{equation}
Az ikerkristálytól származó amplitúdó:
\begin{equation}
A_{D_t}(L-L_t)=\frac {2 \sin ((L-L_t)q_0Dn_t/2)}{(L-L_t)q_0}e^{-i\frac {1}{2}(L-L_t)q_0Dn_t},
\label{38egyenlet}
\end{equation}
ahol $L_p$ és $L_t$ a kristály és ikerkristály két egymáshoz közeli reciprok rácspontjának koordinátája ugyanazon a $HK$ egyenesen. A kristályról és ikerkristályról szóródó amplitúdók koherensen adódnak össze:
\begin{equation}
A_D(L)= A_{D_p}(L-L_p)+ A_{D_t}(L-L_t).
\label{39egyenlet}
\end{equation}
Egy kettõs lamelláról szórt intenzitás ennek abszolút érték négyzete. A teljes intenzitást az összes kettõs lamellától származó intenzitások méreteloszlásokkal súlyozott összegeként kapjuk:
\begin{equation}
I(L)= \sum^{\infty}_{n_p,n_t=1} W_{n_p} W_{n_t}\left| A_{D_p}(L-L_p)+ A_{D_t}(L-L_t)\right|^2.
\label{40egyenlet}
\end{equation}
Behelyettesítve az amplitúdókat (\ref{40egyenlet})-et a következõképp írhatjuk \cite{levi}:
\begin{equation}
I(L)=\frac{I_0}{1+\frac{4(L-L_p)^2}{(FWHM_{triklin})^2}}\left[1+A(L-L_p)\right]+\frac{I_0}{1+\frac{4(L-L_t)^2}{(FWHM_{triklin})^2}}\left[1-A(L-L_t)\right]+\ldots,
\label{41egyenlet}
\end{equation}
ahol
\begin{equation}
A=\left\{\frac{L_t-L_p}{1+\frac{4(L_t-L_p)^2}{(FWHM_{triklin})^2}}\left[1-\frac{2(FWHM_{triklin})^2}{(L_t-L_p)^2+(FWHM_{triklin})^2}\right]\right\},
\label{42egyenlet}
\end{equation}
\begin{equation}
FWHM_{triklin}=\frac{2\beta}{D_{tri}\sqrt{1-\beta}}, \makebox[2cm][r]{$L_t\neq L_p$}.
\label{43egyenlet}
\end{equation}
A (\ref{41egyenlet}) összefüggés azt mutatja, hogy a kristály és ikerkristály alreflexiója két egyforma széles Lorentz függvény, amikhez hozzáadódik ellentétel elõjelekkel egy-egy aszimmetrikus tag, mely a két alreflexió interferenciája miatt jön létre és csak a $\beta$ ikerhatár sûrûségtõl illetve a két alreflexió közötti $L_t-L_p$ távolságtól függ. Minél nagyobb $\beta$ és minél közelebb van egymáshoz a kristály és ikerkristály alreflexiója a reciprok térben, annál nagyobb az aszimmetria. 

Az $FWHM_{triklin}$ félértékszélesség a triklin koordinátarendszer $L$ változójában van kifejezve és ebben a koordinátarendszerben az érétke csak a $\beta$ ikerhatár sûrûségtõl függ, nem függ a rácsparaméterektõl vagy az ikerhibák típusától. A diffrakciós vektor abszolút értékében kifejezett $FWHM(g)$ értékek viszont már erõsen függenek a hexagonális szerkezet $a$ és $c$ rácsparamétereitõl, az adott diffrakciós csúcs $hkl$ Miller indexekeitõl és az ikresedés síkjától. A kapcsolat az $FWHM(g)$ és az $FWHM_{triklin}$ között a négy piramidális sík esetén a következõ \cite{levi}:
\begin{equation}
FWHM_{11 \overline{2}1}(g)=\frac{2}{g} \left| \frac{2c^2h+2c^2k+a^2l}{2a^2c^2}\right|FWHM_{triklin},
\label{44egyenlet}
\end{equation}
\begin{equation}
FWHM_{10 \overline{1}1}(g)=\frac{2}{g} \left| \frac{4c^2h+2c^2k-3a^2l}{6a^2c^2}\right|FWHM_{triklin},
\label{45egyenlet}
\end{equation}
\begin{equation}
FWHM_{10\overline{1}2}(g)=\frac{2}{g} \left| \frac{2c^2h+c^2k+3a^2l}{3a^2c^2}\right|FWHM_{triklin},
\label{46egyenlet}
\end{equation}
\begin{equation}
FWHM_{11 \overline{2}2}(g)=\frac{2}{g} \left| \frac{c^2h+c^2k+a^2l}{a^2c^2}\right|FWHM_{triklin}.
\label{47egyenlet}
\end{equation}

Az \ref{fig:twin1}. ábrán $\beta=6\%$ ikerhatár sûrûség esetén a $\overline{1}\overline{1}24$ numerikusan számolt diffrakciós csúcs látható az $11\overline{2}1$, illetve az $10\overline{1}2$ síkon történt ikresedés esetén. Mivel az ikerhatár sûrûség mindkét esetben egyforma, ezért az $FWHM_{triklin}$ félértékszélesség ugyanaz, viszont a $g$-ben kifejezett $FWHM(g)$ félértékszélességek különböznek, ami az ábrán jól látható.    
\begin{figure} 
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm,angle=0]{twin1.eps}
\parbox{13cm}{\caption{\footnotesize{A $\overline{1}\overline{1}24$ numerikusan számolt reflexió az $11\overline{2}1$ és az $10\overline{1}2$ síkon történt ikresedés esetén \cite{levi}.}}\label{fig:twin1}}
\end{center}
\end{figure}

Pordiffrakció esetén a teljes diffrakciós csúcs az egyes alreflexiók járulékának az összege lesz, ahogy a \ref{fig:twin2}. ábrán is látható.
\begin{figure} 
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm,angle=0]{twin2.eps}
\parbox{13cm}{\caption{\footnotesize{Az (10.5) pordiffrakciós reflexió különbözõ alreflexiói \cite{levi}.}}\label{fig:twin2}}
\end{center}
\end{figure}


