\documentclass[t,8pt,xcolor=dvipsnames]{beamer}

\usepackage{beamer_groma}

\graphicspath{{./}}

\title{Rugók kényszer rezgései}
\subtitle{}
\author{Groma István}
\institute{ELTE }

\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Lineáris lánc}
 \centerline{\includegraphics[height=1.5cm]{6_1.png}}
 \begin{eqnarray*}
  M\ddot{u}_n=D[u_{n+1}-u_n+u_{n-1}-u_n]
 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
  M\ddot{u}_n=-D[2u_n-u_{n+1}-u_{n-1}]
 \end{eqnarray*}
 Keressük a megoldást
 \begin{eqnarray*}
  u_n=A_n e^{j\omega t}
 \end{eqnarray*}
 alakban. Ekkor
\begin{eqnarray*} \red
  \omega^2 A_n=\omega_0^2[2A_n-A_{n+1}-A_{n-1}]
 \end{eqnarray*}
 \begin{eqnarray*}
  \omega_0^2=\frac{D}{M}
 \end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Lineáris lánc}

\begin{eqnarray*}
 \omega^2 \left(\begin{array}{c}
           A_1 \\
           A_2 \\
           . \\
           .\\
           A_N
          \end{array} \right)=
          \omega_0^2
          \left(\begin{array}{ccccc}
                 2 & -1 & .&. & ? \\
                 -1 & 2 & -1 & & \\
                 & . & . & . & \\
                 & . & . & . & \\
                 ? & . &. & -1 &  2
                \end{array} \right)
           \left(\begin{array}{c}
           A_1 \\
           A_2 \\
           . \\
           .\\
           A_N
          \end{array} \right)     
\end{eqnarray*}
Periodikus határfeltétel
\begin{eqnarray*}
 u_{N+1}=u_1
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 \omega^2 \left(\begin{array}{c}
           A_1 \\
           A_2 \\
           . \\
           .\\
           A_N
          \end{array} \right)=
          \omega_0^2
          \left(\begin{array}{ccccc}
                 2 & -1 & .&. & -1 \\
                 -1 & 2 & -1 & & \\
                 & . & . & . & \\
                 & . & . & . & \\
                 -1 & . &. & -1 &  2
                \end{array} \right)
           \left(\begin{array}{c}
           A_1 \\
           A_2 \\
           . \\
           .\\
           A_N
          \end{array} \right)     
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Lineáris lánc}
 \begin{eqnarray*}
  A_n=A_q e^{jq a n}
 \end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
 \omega^2=\omega_0^2 \left[ 2-e^{jqa}-e^{-jqa}\right]
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
 \omega^2=2\omega_0^2 \left[ 1-cos(qa)\right]=4\omega_0^2 \sin^2\left(\frac{qa}{2}\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \red
 \omega=2\omega_0 \left|\sin\left(\frac{qa}{2}\right)\right|
\end{eqnarray*}
Periodikus határfeltétel miatt
\begin{eqnarray*}
 1=e^{jqaN} \ \ \longrightarrow \ \ \red q_m=m\frac{2\pi}{Na}
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Lineáris lánc}
 \centerline{\includegraphics[height=3cm]{6_2.png}}
\end{frame}



\begin{frame}[t]\frametitle{1.}
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=9cm]{rugo.pdf}
\end{center}
\onslide<2->
{\red Mozgásegyenlet}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
m a_n&=& -F_n+F_{n-1} \\
F_{n-1}&=& -D(u_n-u_{n-1}) 
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0cm}
{\red Megoldás alakja}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
F_n&=&f_n \exp(j\omega t)  \\
u_n&=&A_n \exp(j\omega t)  \\
a_n&=&-\omega^2 A_n \exp(j\omega t)
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{2.}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
m \omega^2 A_n&=& f_n-f_{n-1} \\
f_{n-1}&=& -D(A_n-A_{n-1})
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{1cm}
{\red Keressük a megoldást a következő alakban}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
f_n=-DK_n A_n
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{1cm}
{\red Ekkor}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
\omega^2 m A_n&=& -DK_nA_n+DK_{n-1}A_{n-1} \\
-DK_{n-1}A_{n-1}&=& -D(A_n-A_{n-1})
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{3.}
{\red Bevezetve}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 \omega_0=\sqrt{\frac{D}{m}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.2cm}
{\red Ekkor}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} 
\frac{\omega^2}{\omega_0^2} A_n&=& -K_nA_n+K_{n-1}A_{n-1} \\
K_{n-1}A_{n-1}&=& (A_n-A_{n-1})
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.2cm}
{\red 0-ra rendezve}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
0&=&- \left( \frac{\omega^2}{\omega_0^2}+K_n \right)A_n+K_{n-1}A_{n-1} \\
0&=& A_n -(1+K_{n-1})A_{n-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{4.}
{\red Lineáris egyenlet rendszer}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 y_1&=&a A_n + b A_{n-1} \\
 y_2&=&c A_n + d A_{n-1} 
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Ennek megoldása}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
y_1 d -y_2 b=(ad-bc)A_n
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Van nemtriviális megoldás ha}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 \left( \frac{\omega^2}{\omega_0^2}+K_n \right)(1+K_{n-1})-K_{n-1}=0
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{5.}
 {\red Rekurzív egyenlet $K_n$-re}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_n=-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}+ \frac{K_{n-1}}{1+K_{n-1}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2->{
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=5cm]{LC.pdf}
\end{center}
}
\onslide<3->{
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=3cm]{LCN.pdf}
\end{center}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 Z_n=j\omega L+\frac{\frac{1}{j\omega C} Z_{n-i}}{\frac{1}{j\omega C}+Z_{n-1}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
}
\onslide<4->{\vspace{10pt}
{\red Bevezetve $K_n=j\omega C Z_n$ és $\omega_0^2=\frac{1}{LC}$ jelöléseket visszakapjuk ugyanazt mint a rugóra.}
}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{6.}
{\red Rekurzív egyenlet $K_n$-re}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_n=-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}+ \frac{K_{n-1}}{1+K_{n-1}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Mi van $n \rightarrow \infty$}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
K_\infty=-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}+ \frac{K_\infty}{1+K_\infty}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Megoldása}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_{\infty_{1,2}}=\frac{\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\pm \sqrt{\frac{\omega^4}{\omega_0^4} -4 
\frac{\omega^2}{\omega_0^2}}}{2}  \red \ \ ha \ \ \frac{\omega^2}{\omega_0^2}<4 \ \ !!
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{7.}
{\red Bevezetve}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 c=1-\frac{1}{2}\frac{\omega^2}{\omega_0^2} < 1
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red $K_n$ -re adódik}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
 K_{n+1}=2(c-1)+ \frac{K_{n}}{1+K_{n}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red A sorozat fixpontja}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_{\infty_{1,2}}=(c-1)\pm \sqrt{c^2-1}  \red \ 
\ ha \ \ |c|<1 \ \ !!
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{8.}
{\red Legyen}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_{+}=(c-1) + \sqrt{c^2-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Bevezetve}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
 y_{n}=K_{n}-K_+
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red $y_n$-re kapjuk, hogy}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 y_{n+1}=\frac{\left(c-\sqrt{c^2-1}\right)y_n}{c+\sqrt{c^2-1}+y_n}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{9.}
{\red A kevesebb írás kedvéért jelöljük}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 S=c-\sqrt{c^2-1} \ \ ill. \ \  S^*=c+\sqrt{c^2-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Így}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
 y_{n+1}=\frac{S y_n}{S^*+y_n}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red További változó csere}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 t_n=\frac{1}{y_n}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{10.}
{\red Kapjuk, hogy}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 t_{n+1}=\frac{1}{S}+\frac{S^*}{S} t_n
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Végül }
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} 
 t_n=l_n+G \ \ ha \ \ \red  G=-\frac{1}{2\sqrt{c^2-1}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Kapjuk, hogy}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 l_{n+1}=\frac{S^*}{S} l_n
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{11.}
{\red Geometriai sor}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 l_n=l_0 \left(\frac{S^*}{S}\right)^n
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Visszahelyettesítve }
\begin{cbox}{Yellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*} 
  K_n=\frac{2\sqrt{c^2-1}}{l_0 \left(\frac{S^*}{S}\right)^n-1}+c-1+\sqrt{c^2-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Emellett}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 A_n=\left(K_{n-1}+1\right)A_{n-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{12.}
{\red}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 Ha &&\ \ c<-1 \ \ azaz \ \ \left (\frac{\omega^2}{\omega_0^2}>4 \right) \\
 \frac{S^*}{S}&=&\frac{c-\sqrt{c^2-1}}{c+\sqrt{c^2-1}}<1
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red ekkor }
\begin{cbox}{Yellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*} 
  K_N&=&\frac{2\sqrt{c^2-1}}{\approx 0-1}+c-1+\sqrt{c^2-1}  \\
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Így}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_N&=& c-1-\sqrt{c^2-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{13.}
{\red}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 Ha &&\ \ -1<c<1 \\
 && c+\sqrt{c^2-1}=\cos \varphi_0 +i \sin \varphi_0=S^* \\
 && c-\sqrt{c^2-1}=\cos \varphi_0 -i \sin \varphi_0=S
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red ekkor }
\begin{cbox}{Yellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*} 
  \frac{S^*}{S}=\cos(2\varphi_0)+i \sin(2\varphi_0)
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Így}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
\left( \frac{S^*}{S}\right)^n=\cos(2n\varphi_0)+i \sin(2n\varphi_0)
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{14.}
{\red}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 l_0=|l_0|(\cos \varphi +i \sin \varphi)
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_n=\frac{2i\sin \varphi_0}{l_0e^{i2\varphi_0n}-1}+e^{i\varphi_0}-1
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Ha $|l_0|=1$ akkor (kis számolás után)}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*} 
  K_n=\cos\varphi_0-1+\frac{\sin \varphi_0 
\sin(n\varphi_0+\varphi)}{|l_0|\cos(n\varphi_0+\varphi)-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
valós
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{15.}
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=6cm]{img002.jpg}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{16.}
 {\red A rezgés amplitúdója}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
m \omega^2 A_n&=& f_n-f_{n-1} \\
f_{n-1}&=& -D(A_n-A_{n-1})
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2->{ 
 {\red Átrendezve}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
A_n&=& A_{n-1}-f_{n-1}\\
f_n&=&\frac{\omega^2}{\omega_0^2} A_{n-1}+\left (1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right) f_{n-1} 
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
 }
 \onslide<3->{
 {\red amely}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
 \begin{eqnarray*}
A_n&=& A_{n-1}-f_{n-1}\\
f_n&=&2(1-c) A_{n-1}+(2c-1) f_{n-1} 
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
 }
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{17.}
{\red mátrix alakban}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
 A_n \\
 f_n
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
 1 & -1 \\
 2(1-c) & 2c-1
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{c}
 A_{n-1} \\
 f_{n-1}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2->{
{\red a mátrix sajátértékei}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
 \begin{eqnarray*}
  \lambda_{1,2}=c\pm \sqrt{c^2-1}, \ \ \ \ \lambda_1=S^* \ \ \ \ \lambda_2=S
 \end{eqnarray*}
\end{cbox}
}
\onslide<3->{ \vspace{12pt}
\centerline{\red ha $c<-1$ akkor} 
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{4cm}
 \begin{eqnarray*}
  \lambda_{1,2}<0
 \end{eqnarray*}

\end{cbox}
}
\onslide<4->{ \vspace{1pt}
\centerline{\red ha $-1<c<1$ akkor}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{4cm}
 \begin{eqnarray*}
  \lambda_{1,2}=e^{\pm i\varphi}
 \end{eqnarray*}
\end{cbox}
}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{18.}
{\red Sajátvektorok}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{7cm}
 \begin{eqnarray*}
  \vec{e}_1&=&\sqrt{1+\frac{1}{(1-S^*)^2}} \left(
  \begin{array}{c}
   \frac{1}{1-S^*} \\ 1
  \end{array}\right) \\
  \vec{e}_2&=&\sqrt{1+\frac{1}{(1-S)^2}} \left(
  \begin{array}{c}
   \frac{1}{1-S} \\ 1
  \end{array}\right)
 \end{eqnarray*} 
\end{cbox}
{\red Ekkor}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{7cm}
 \begin{eqnarray*} \left(
  \begin{array}{c}
   A_n \\ f_n
  \end{array}\right)=a_n \vec{e}_1+b_n \vec{e}_2
 \end{eqnarray*}
\end{cbox}
{\red Így}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{7cm}
 \begin{eqnarray*}
  a_n=(S^*)^n a_0 \ \ \ \ b_n=(s)^n b_0
 \end{eqnarray*}

\end{cbox}

 
\end{frame}



\begin{frame}[t]\frametitle{19.}
{\red Számoljuk ki}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 <K>=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} K_n  \ \ ha \ \ -1<c<1
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Legyen }
\begin{cbox}{Yellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*} 
  \varphi_0=\pi \frac{m}{N} 
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
ahol $N$ és $m$ relatív prím \\ 
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Így}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{7cm}
\begin{eqnarray*}
 <K>=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \frac{2i\sin \varphi_0}{l_0 \exp \left ( 2\pi i 
\frac{nm}{N}\right)-1} + \exp(i\varphi_0) -1
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{20.}
{\red Átírható}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*}
 <K>= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}\frac{2i\sin \varphi_0}{l_0 \exp \left ( 2\pi i 
\frac{n}{N}\right)-1} + e^{i\varphi_0} -1
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Ha $N\rightarrow\infty$ az $\varphi_0/\pi$ irracionális }
\begin{cbox}{Yellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*} 
  <K>= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\left( \frac{2i\sin \varphi_0}{l_0 
\exp \left (i 
\varphi\right)-1} + e^{i\varphi_0}  -1\right) d\varphi
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Amely}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{10cm}
\begin{eqnarray*}
  <K>&=&\frac{1}{2\pi} \oint_{|z|=1} \frac{2i\sin \varphi_0}{(l_0 z -1)z}dz +  e^{i\varphi_0}-1 \\
  &=&\frac{1}{2\pi} \oint_{|z|=1} \left\{\frac{2i\sin \varphi_0}{z}+\frac{2i\sin 
\varphi_0}{z-1/l_0}\right\}dz +  
e^{i\varphi_0}-1
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{21.}
{\red Ha $|l_0|<1$}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*}
 <K>= e^{-i\varphi_0}-1=c-1-\sqrt{c^2-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Ha $|l_0|>1$}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*} 
 <K>= e^{i\varphi_0}-1=c-1+\sqrt{c^2-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}




\end{document}
