\documentclass[t,8pt,xcolor=dvipsnames]{beamer}

\usepackage{beamer_groma}

\graphicspath{{./}}

\title{Rugók varázsa}
\subtitle{}
\author{Groma István}
\institute{ELTE }

\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}





\begin{frame}[t]\frametitle{Rugó rezgetése}
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=9cm]{rugo.pdf}
\end{center}
\onslide<2->
{\red Mozgásegyenlet}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
m a_n&=& -F_n+F_{n-1} \\
F_{n-1}&=& -D(u_n-u_{n-1}) 
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0cm}
{\red Megoldás alakja}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
F_n&=&f_n \sin(\omega t+\phi)  \\
u_n&=&A_n \sin(\omega t+\phi)  \\
a_n&=&-\omega^2 A_n \sin(\omega t+\phi)
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{A mozgásegyenlet}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
m \omega^2 A_n&=& f_n-f_{n-1} \\
f_{n-1}&=& -D(A_n-A_{n-1})
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{1cm}
{\red Keressük a megoldást a következő alakban}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
f_n=-DK_n A_n
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{1cm}
{\red Ekkor}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
\omega^2 m A_n&=& -DK_nA_n+DK_{n-1}A_{n-1} \\
-DK_{n-1}A_{n-1}&=& -D(A_n-A_{n-1})
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{Effektív rugóállandó}
{\red Bevezetve}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 \omega_0=\sqrt{\frac{D}{m}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.2cm}
{\red Ekkor}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} 
\frac{\omega^2}{\omega_0^2} A_n&=& -K_nA_n+K_{n-1}A_{n-1} \\
K_{n-1}A_{n-1}&=& (A_n-A_{n-1})
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.2cm}
{\red 0-ra rendezve}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
0&=&- \left( \frac{\omega^2}{\omega_0^2}+K_n \right)A_n+K_{n-1}A_{n-1} \\
0&=& A_n -(1+K_{n-1})A_{n-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{Nemtriviális megoldás}
{\red Lineáris egyenlet rendszer}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 y_1&=&a A_n + b A_{n-1} \\
 y_2&=&c A_n + d A_{n-1} 
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Ennek megoldása}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
y_1 d -y_2 b=(ad-bc)A_n
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Van nemtriviális megoldás ha}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 \left( \frac{\omega^2}{\omega_0^2}+K_n \right)(1+K_{n-1})-K_{n-1}=0
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{Rekurzív egyenlet}
 {\red Rekurzív egyenlet $K_n$-re}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_n=-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}+ \frac{K_{n-1}}{1+K_{n-1}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2->{
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=5cm]{LC.pdf}
\end{center}
}
\onslide<3->{
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=3cm]{LCN.pdf}
\end{center}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 Z_n=j\omega L+\frac{\frac{1}{j\omega C} Z_{n-i}}{\frac{1}{j\omega C}+Z_{n-1}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
}
\onslide<4->{\vspace{10pt}
{\red Bevezetve $K_n=j\omega C Z_n$ és $\omega_0^2=\frac{1}{LC}$ jelöléseket visszakapjuk ugyanazt mint a rugóra.}
}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{Fixpont}
{\red Rekurzív egyenlet $K_n$-re}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_n=-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}+ \frac{K_{n-1}}{1+K_{n-1}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Mi van $n \rightarrow \infty$}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
K_\infty=-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}+ \frac{K_\infty}{1+K_\infty}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Megoldása}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_{\infty_{1,2}}=\frac{\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\pm \sqrt{\frac{\omega^4}{\omega_0^4} -4 
\frac{\omega^2}{\omega_0^2}}}{2}  \red \ \ ha \ \ \frac{\omega^2}{\omega_0^2}<4 \ \ !!
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{Változócserék I.}
{\red Bevezetve}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 c=1-\frac{1}{2}\frac{\omega^2}{\omega_0^2} < 1
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red $K_n$ -re adódik}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
 K_{n+1}=2(c-1)+ \frac{K_{n}}{1+K_{n}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red A sorozat fixpontja}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_{\infty_{1,2}}=(c-1)\pm \sqrt{c^2-1}  \red \ 
\ ha \ \ |c|<1 \ \ !!
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{Változócserék II.}
{\red Legyen}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_{+}=(c-1) + \sqrt{c^2-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Bevezetve}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
 y_{n}=K_{n}-K_+
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red $y_n$-re kapjuk, hogy}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 y_{n+1}=\frac{\left(c-\sqrt{c^2-1}\right)y_n}{c+\sqrt{c^2-1}+y_n}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{Változócserék III.}
{\red A kevesebb írás kedvéért jelöljük}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 S=c-\sqrt{c^2-1} \ \ ill. \ \  S^*=c+\sqrt{c^2-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Így}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} \red
 y_{n+1}=\frac{S y_n}{S^*+y_n}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red További változó csere}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 t_n=\frac{1}{y_n}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{Végül}
{\red Kapjuk, hogy}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 t_{n+1}=\frac{1}{S}+\frac{S^*}{S} t_n
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Végül }
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*} 
 t_n=l_n+G \ \ ha \ \ \red  G=-\frac{1}{2\sqrt{c^2-1}}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Kapjuk, hogy}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 l_{n+1}=\frac{S^*}{S} l_n
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}

\begin{frame}[t]\frametitle{A megoldás}
{\red Geometriai sor}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 l_n=l_0 \left(\frac{S^*}{S}\right)^n
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Visszahelyettesítve }
\begin{cbox}{Yellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*} 
  K_n=\frac{2\sqrt{c^2-1}}{l_0 \left(\frac{S^*}{S}\right)^n-1}+c-1+\sqrt{c^2-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Emellett}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 A_n=\left(K_{n-1}+1\right)A_{n-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{Határérték}
{\red}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 Ha &&\ \ c<-1 \ \ azaz \ \ \left (\frac{\omega^2}{\omega_0^2}>4 \right) \\
 \frac{S^*}{S}&=&\frac{c-\sqrt{c^2-1}}{c+\sqrt{c^2-1}}<1
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red ekkor }
\begin{cbox}{Yellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*} 
  K_N&=&\frac{2\sqrt{c^2-1}}{\approx 0-1}+c-1+\sqrt{c^2-1}  \\
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Így}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_N&=& c-1-\sqrt{c^2-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{Periodikus megoldás }
{\red}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 Ha &&\ \ -1<c<1 \\
 && c+\sqrt{c^2-1}=\cos \varphi_0 +i \sin \varphi_0=S^* \\
 && c-\sqrt{c^2-1}=\cos \varphi_0 -i \sin \varphi_0=S
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red ekkor }
\begin{cbox}{Yellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*} 
  \frac{S^*}{S}=\cos(2\varphi_0)+i \sin(2\varphi_0)
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<3-> \vspace{0.5cm}
{\red Így}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
\left( \frac{S^*}{S}\right)^n=\cos(2n\varphi_0)+i \sin(2n\varphi_0)
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{Összegezve}
{\red}
 \begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 l_0=|l_0|(\cos \varphi +i \sin \varphi)
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\begin{cbox}{GreenYellow}{black}{6cm}
\begin{eqnarray*}
 K_n=\frac{2i\sin \varphi_0}{l_0e^{i2\varphi_0n}-1}+e^{i\varphi_0}-1
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
\onslide<2-> \vspace{0.5cm}
{\red Ha $|l_0|=1$ akkor (kis számolás után)}
\begin{cbox}{Yellow}{black}{8cm}
\begin{eqnarray*} 
  K_n=\cos\varphi_0-1+\frac{\sin \varphi_0 
\sin(n\varphi_0+\varphi)}{|l_0|\cos(n\varphi_0+\varphi)-1}
\end{eqnarray*}
\end{cbox}
valós
\end{frame}


\begin{frame}[t]\frametitle{Numerikus megoldás}
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=6cm]{img002.jpg}
\end{center}
\end{frame}



\end{document}
