\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar] {babel}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{ae,aecompl} 
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{url}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{graphicx}
\frenchspacing
\sloppy

\makeatother
\linespread{1.3} 
\author{Bogár Eszter Eleonóra}
\title{A gumi fizikája -- Az Alkalmazott fizika I. előadás alapján}

\begin{document}
\maketitle

\section{Bevezetés}

A gumi egy érdekes anyag. Rendkívül rugalmas, olcsó az előállítása és rengeteg különböző tárgyat készíthetünk belőle.\ref{fig:1}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=100mm]{gumi.jpg}
\caption{Különböző gumiból előállított termékek}
\label{fig:1}
\end{figure}
Gondolkozzunk el először két feladaton. Az elsőben fújjunk fel két ugyanolyan lufit különböző méretűre, kössük össze őket egy szeleppel. Mi fog történni? A két lufi egyforma lesz, vagy a nagyobb lufi fújódik fel jobban, és így a kisebb lufi leeresztődik?

A másodikban pedig csavarjunk meg egy horgászdamilt egy fúrógéppel, így ez csavarodás közben egy rugószerű elrendezésű szoros tekercset alkot. Majd ráfújúnk egy hajszárítóval, így a rugószerű alak tartósan megmarad. Ahhoz, hogy mesterséges izomként tudjuk alkalmazni ezt a damilt, újra hő alkalmazására van szükség, melynek hatására az egész tekercs újra összehúzódik.

\section{Előállítás}
A gumi egy nagyon különlegesen viselkedő anyag. Különös tulajdonságai a sajátos szerkezetéből adódnak. A következőkben ezt fogjuk vizsgálni.

A ma felhasznált gumik felét kaucsukból, a másik felét mesterségesen állítják elő. Léteznek gumifa ültetvények Indonéziában és Thaiföldön, a kaucsukot pedig ezekből a fákból nyerik ki.\ref{fig:2}
 
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=60mm]{kaucsuk.jpg}
\caption{Kaucsuk fa}
\label{fig:2}
\end{figure}

A kaucsuk egy rugalmas, de viszkózus anyag. A kaucsuk lánc alakú molekulái izoprén egységekből épülnek fel.\ref{fig:3}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=100mm]{molekula.jpg}
\caption{A kaucsuk izopprén egységei és az abból kialakult lánc molekulák}
\label{fig:3}
\end{figure}

Az izoprén egységek egymáshoz kapcsolódása eredményezi a poliizoprén láncmolekulák kialakulását. Ezekben  a szerkezetekben a szénnek alapvető szerepe van, ezért poliizoprén szénláncoknak is nevezhetjük őket. Egy ilyen lánc általában $1000$ és $3000$ db izoprén molekulából áll. A láncmolekulában a szomszédos izoprén egységek a kötésszög megtartása mellett egymáshoz képest el tudnak fordulni.\ref{fig:4}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=100mm]{fordul.jpg}
\caption{Izoprén egységek elfordulása}
\label{fig:4}
\end{figure}

\newpage
A polimer láncok feltekerednek és másodrendű Van der Walls kötésekkel kapcsolódnak egymáshoz. A gumiszerűséget az adja, hogy a láncok tudnak változni, meg tudnak nyúlni. Hirtelen változtatásra rugalmas, lassú változtatással lehet maradandóan deformálni, mert a másodrendű kötések gyengék.\ref{fig:5}

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=100mm]{Molekulalanc.jpg}
\caption{Molekulaláncok feltekeredése}
\label{fig:5}
\end{figure}

A fentiekben vázolt szerkezetű természetes anyag, a kaucsuk gyakorlati célokra nem használható. Ez az anyag az olvadáspontja alatti hőmérsékleten is könnyen, kis feszültségek hatására megfolyik, míg alacsonyabb hőmérsékleten rideggé és törékennyé válik, ezért tartós eszközöket a megismerése után hosszú ideig nem tudtak készíteni belőle. Ezen a helyzeten akkor következett be változás, amikor $1841$-ben Charles Goodyear felfedezte a vulkanizálási eljárást.\ref{fig:6}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=90mm]{vulkanizalas.jpg}
\caption{Vulkanizálás hatása}
\label{fig:6}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=60mm]{terhalo.jpg}
\caption{Vulkanizálás utáni térhálós szerkezet}
\label{fig:7}
\end{figure}

\newpage

Az eljárás lényege, hogy a kaucsukba kén bevitelével, majd hevítéssel amorf szerkezetű, hőhatásokra kevéssé érzékeny szilárd anyag keletkezik, amelyben a kén atomokkal kialakított kötések a térbeli hálós szerkezetet nagymértékben stabilizálják. A vulkanizált kaucsukot nevezzük guminak. A különböző felhasználási lehetőségek és a minőség miatt katalizátorokat is alkalmaznak a folyamat közben. A vulkanizálási folyamat alatt az izoprén molekulában az egyedi szénatomok kettős kötése felhasad, így a kénatomok be tudnak épülni. Az izoprén láncokat a kén kovalens kötéssel kapcsolja össze, így kialakul egy fix térháló. Körülbelül minden $100.$ szénatomnál alakul ki keresztkötés. Ha kevesebb a szén, vagy rövidebb idejű a vulkanizálás, akkor ritkábban lesznek a kötések, így a térháló nem lesz stabil és a gumi elszakad, ha kevesebb a kén vagy hosszabb ideig tart a vulkanizálás, akkor sűrűbben lesznek a kötések $\left(\text{ebonit}\right)$ így nem tud megnyúlni az anyag. A megnyúlás úgy történik, hogy a polimer szálak kigombolyodnak, így tud a gumi akár $10\%$-ot megnyúlni\ref{fig:8}, míg a kristályos anyagok csak maximum $1\%$-ot. $\left(\text{A kristályos anyagoknál az atomok közötti kötések nyúlnak meg.}\right)$

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=120mm]{nyujt.jpg}
\caption{Megnyúlás}
\label{fig:8}
\end{figure}

\section{Fizikai leírás}

A polimerek tulajdonságaiból következik, hogy ha külső erők állndó hőmérsékleten mechanikai munkát végeznek egy ilyen szerkezetű testen, akkor a fellépő alakváltozás viszonylag kis mértékű belsőenergiaváltozást, ezzel szemben viszont jelentős entrópiaváltozást okoz. Ennek oka, hogy a molekulaláncok kis energia befektetéssel, könnyen elmozdulnak egymáshoz képest. Ez a viselkedés különbözik a kristályos szilárd testekétől, mivel azokban az izotermikus alakváltozás nagy belsőenergia növekedést, de csak kismértékű entrópia változást okoz.

Nézzünk meg egy statisztikus fizikai leírást. Az állapotaink száma legyen $\Omega\left(E,V\right),$ az entrópia pedig $S\left(E,V\right):=k\ln \Omega\left(E,V\right),$ ahol $E$ az energia, $V$ pedig egy térfogat. Ezekhez a makroállapotokhoz tartoznak mikroállapotok. Mi most azt tesszük fel, hogy az a makroállapot valósul meg, amelyhez a legtöbb mikroállapot tartozik. Az entrópia szigorúan monoton függvény, ez maximális abban az állapotban, amit nézünk. Ebben az esetben $E,V$ konkrét, ha ezt az entrópia függvénybe behelyettesítjük, akkor ez egy értéket ad, mi mégis ennek a függvénynek a maximumát keressük. Ehhez osszunk el egy szobát képzeletben két részre, azaz vegyünk két alrendszert. A két alrendszert válassza el egymástól egy képzeletbeli fal, amin az energia át tud áramlani. Mindkét oldalon az anyag homogén.

Ha van energiaáramlás, akkor $\Omega_{1}\left(E_{1},V_{1}\right)\Omega_{2}\left(E-E_{1},V_{2}\right)$ maximális, innen pedig $$\frac{\partial S_{1}}{\partial E}\left(E_{1},V_{1}\right)-\frac{\partial S_{2}}{\partial E}\left(E-E_{1},V{2}\right)=0.$$

Ez akkor lesz maximális, ha a két derivált megegyezik, és ezt a deriváltat elnevezzük hőmérsékletnek: $$\frac{1}{T}:=\frac{\partial S}{\partial E}.$$

Ha két alrendszer esetén van térfogatáramlás, azaz megengedjük, hogy a köztes fal mozogjon, akkor a két alrendszer nyomásának is egyformának kell lennie, azaz $$\frac{\partial S_{1}}{\partial V} \left(E_{1},V_{1}\right)=\frac{\partial S_{2}}{\partial V}\left(E_{2},V-V_{1}\right).$$ Innen pedig következik a nyomás definíciója: $$\frac{p}{T}=\frac{\partial S}{\partial V}.$$

Ezekből következik, hogy $$-p=\frac{\partial E}{\partial V},$$ azaz a fenti módon értelmezett $p$ mennyiség valóban a nyomás.

Ha az anyagáramlást engedjük meg, akkor pedig a két alrendszer kémiai potenciálja lesz egyenlő.

A függvény maximális helyén a két alrendszer nyomása és a hőmérséklete megegyezik. Tudjuk, hogy akkor maximális az entrópia, ha a hőmérséklet homogén, ami teljesül, azaz létezik ilyen függvény.

\subsection{Az ideális gáz rugalmas deformációja}

Ideális gáz esetén a teret kis térkockákra osztjuk fel. A kérdés, hogy hányféleképpen tudjuk elrendezni az atomokat a térben. Az ideális gáz entrópiája a következő: $$S\left(E,V\right)=Nk\ln\left(V\right)+\frac{3}{2}Nk\ln\left(E\right)+Nk\left[\ln\left(\frac{1}{N}\left(\frac{4\pi m}{3Nh^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\right)+\frac{5}{2}\right],$$ ahol az első tag a konfigrációs entrópia, azaz azt írja le, hogy melyik térrészbe kerül a részecske, a második tag a termikus entrópia, azaz, hogy hogyan oszlik szét az energia. 

A hőmérséklet ebben az esetben: $$\frac{1}{T}=\frac{\partial S\left(E,V\right)}{\partial E}=\frac{3}{2}\frac{Nk}{E},$$ ebből $E=\frac{3}{2}NkT,$ azaz az egy atomos gáz belső energiája.
A nyomás: $$\frac{p}{T}=\frac{\partial S\left(E,V\right)}{\partial V}=\frac{Nk}{V},$$ ebből következik, hogy $pV=nkT,$ ami az ideális gáz állapotegyenlete. Ez a két egyenlet meghatározza az ideális gáz felírását. Az ideális gáz nyomása konfigurációs entrópia eredetű. Az összenergia nem függ a nyomástól, a gáz azért nyomja a falat, mert nagyobb helyen többféle elrendeződése lehetne.

A kristályos anyagok esetén az entrópiában a konfigurációs járulék elhanyagolható a termikus járulék mellett. A szilárd testeknél a nyomás a termikus energiából ered, onnan lehet bevezetni. A polimerekben ezzel szemben a termikus járulék állandó és a konfigurációs tagnak jelentős a változása. A gumi jobban hasonlít egy ideális gázra, mint egy szilárd testre.

\section{Szabad lánc modell}

A következőekben azokat az alapvető meggondolásokat foglaljuk összem amelyek rávilágítanak a gumi és általában a polimerek láncmolekula szerkezetéből adódó sajátos tulajdonságainak eredetére. Ennek érdekében néhány alapvető statisztikaus fizikai megközelítést vizsgálunk meg. Elsőként egy egyszerű, lineáris lánc statisztikus viselkedését tárgyaljuk.

\subsection{Egydimenziós láncmodell}

Először számoljuk ki az entrópiát egy egyszerű polimer modellen. Ez egy egydimenziós szabad lánc modell, ami merev láncszemekből áll, amik súrlódásmentes csuklókkal kapcsolódnak egymáshoz. A láncban a láncszemek száma $n$ és hossza $a$. Ezeknek a láncszemeknek az állása kétféle lehet. Az egyik esetben a megfigyelt elem a láncszemek normál sorrendjébe illeszkedik, míg a másik esetben a többihez képest visszahajlított helyzetben fekszik. Legyen az előbbiek száma $i$, az utóbbiak száma $n-i$.\ref{fig:9}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=20mm]{szabadlanc.jpg}
\caption{Egydimenziós lánc modell}
\label{fig:9}
\end{figure}

Ezekkel az adatokkal a lánc pillanatnyi hossza$:$ $$l=\left(i-\left(n-i\right)\right)a=\left(2i-n\right)a.$$

Innen:$$i=\frac{1}{2}\left(n+\frac{l}{a}\right).$$

A most bevezetett egyszerű modell alkalmas arra, hogy egy egydimenziós láncmolekula statisztikus viselkedésének néhány sajátos vonását megmutassa. A láncmolekula pillanatnyi hossza a megfelelő anyag egy makroállapotát adja meg. Ez a makroállapot annyi mikroállapottal valósítható meg, ahányféleképpen kiválaszthatjuk az összes láncszemből az előreálló láncszemeket, azaz
$$\Omega\left(l\right)=\left(\stackrel{n}{i\left(l\right)}\right)\approx 2^{n}e^{-\frac{l^{2}}{2na^{2}}}$$

Ezzel a lánc entrópiája a statisztikus fizika szerint: $$S\left(l\right)=k\ln\Omega\left(l\right)=k\left(n\ln2-\frac{l^{2}}{2na^{2}}\right).$$

A láncszemeket összekapcsoló csuklókat surlódásmentesnek vettük, így a lánc belső energiája nem függ a láncszemek állásától, ezért az anyagben ébredő feszültségek tisztán entrópia eredetűek.

A lineáris láncmodell lehetséges konfigurációinak leírása megadható bolyongási feladat megoldásaként is. Ez a leírási mód viszonylag egyszerű általánosításra ad lehetőséget többdimenziós láncok esetében is. Vizsgáljuk meg az eljárást az egydimenziós láncon. Indítsunk el egy egydimenziós bolyongást a lánc mellett felvett koordináta egyenes origójából olyan véletlenszerű ugrásokkal, amelyek egyenlú valószínűséggel történnek pozitív és negatív irányban is. Legyen az ugrások száma $n$. Vizsgáljuk meg annak a valószínűségét, hogy az $n$ ugrás után az $x=l$ pontba jutunk el. Az előző eredmények felhasználásával megadhatjuk az origótól való átlagos eltávolodás abszolút értékét, ami az $\left\langle l^{2}\right\rangle$ várható értékkel jellemezhető.
$$\left\langle l^{2}\right\rangle=na^{2},$$
ebből $$\left|l\right|=\sqrt{n}a.$$

\subsection{Háromdimenziós láncmodell}

Az egydimenziós modell eredményeit kiterjeszthetjük a gumi szerkezeti és mechanikai tulajdonságait jobban visszatükröző háromdimenziós modellre. A lineáris lánc entrópiája a Gauss eloszlás alkalmazhatósága esetén folytonos függvénnyel is megadható. A térbeli hálóval jellemezhető polimerek egy elemének entrópiája Gauss eloszlás esetén a következő alakban adható meg: $$S\left(l\right)=-k\frac{3R^{2}}{2na^{2}}+S_{0},$$ ahol $R$ a lánc két végpontjának távolsága. Azaz ez a háromdimenziós modellben egy lánc esetén az entrópia. Most nézzük az entrópiát sok lánc esetén egységnyi térfogatra: $$s=-k\frac{3\left\langle R\right\rangle^{2}}{2na^{2}}+S_{0},$$ ahol $\left\langle R\right\rangle$ a $2$ végpont átlagos távolsága. Ez a kezdeti konfigurációs entrópia.
Tekintsünk egy téglatest alakú gumitestet, amelynek méretei a deformálatlan test éleihez rögzített tengelyű koordinátarendszerben $L_{1},L_{2},L_{3}.$ Tegyük fel, hogy a testen végrehajtunk egy deformációt, amelynek eredményeként a test új méretei $\lambda_{1}L_{1},\lambda_{2}L_{2},\lambda_{3}L_{3}$ lesznek. Legyen az egységnyi térfogatban lévő láncok száma N, ekkor az entrópia növekmény: $$s_{konf}=-\frac{kN}{2}\sum^{3}_{\alpha=1}\left(\lambda^{2}_{\alpha}-1\right).$$
Ekkor a teljes entrópia a következő: $$s=s_{konf}+s_{term}\left(e,v\right)=-\frac{kN}{2}\sum^{3}_{\alpha=1}\left(\lambda^{2}_{\alpha}-1\right)+s_{term}\left(e,v\right),$$ ahol $v$ az egységnyi térfogatú anyagrész térfogata a deformáció után:$v=\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}.$

\subsection{Feszültség és deformáció összefüggése}

Mivel mostmár tudjuk a rendszer entrópiáját, így ezt felhasználhatjuk a deformációt létrehozó feszültségek meghatározására. 
A tengelyirányú feszültségeket a következőképpen tudjuk kiszámolni: $$\sigma_{i}=-T\frac{\partial s}{\partial \lambda_{i}}=-T\frac{\partial s_{term}}{\partial v}\frac{\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}}{\lambda_{i}}+NkT\lambda_{i}.$$
Alkalmazzuk ezeket az összefüggéseket a következő egytengelyű nyújtás esetén, ahol $\sigma_{1}=\sigma, \sigma_{2}=\sigma_{3}=0.$ Számításainkban közelíthetünk azzal, hogy a térfogat közel állandó, mivel $\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}=1$ és $\lambda_{2}=\lambda_{3}$ és $\lambda:=\lambda_{1}.$
Innen $$\sigma=NkT\left(\lambda-\frac{1}{\lambda^{2}}\right).$$
Ez nagy deformációknál jelentősen eltér a kísérleti eredményektől, $\lambda=3-$ig működik jól. Ez a következő ábrán jól látható.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=100mm]{feszultseg.jpg}
\caption{Feszültség deformáció görbe gumi rugalmas nyújtása során}
\label{fig:10}
\end{figure}

A $\lambda=5$ fölötti eltérésnek a legvalószínűbb magyarázata, hogy ilyenkor a láncok hosszúsága már egyre inkább megközelíti a teljes lánchosszúságot, és ilyenkor a Gauss eloszlás már érvényét veszti.

\section{Üvegesedési hőmérséklet}

Az összegubancolódott láncmolekulákból álló anyagot gyorsan és erősen lehűtve rideg, törékeny anyagot kapunk. Az erős hűtés hatására a hőmozgás gyakorlatilag megszűnik, az összegunacolódott molekulaszerkezet befagy, merevvé válik. Az üveg-állapot kritikus paramétere az üvegesedési hőmérséklet $\left(T_{g}\right)$. Üvegesedési hőmérsékletnek nevezzük azt a hőmérsékletet, ahol a polimert jellemző fizikai tulajdonságok hirtelen több nagyságrendet változnak.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=100mm]{uvegesedesi.jpg}
\caption{Üvegesedési hőmérséklet diagram}
\label{fig:11}
\end{figure}

Az üvegesedés hőmérséklet alatt a polimer láncok nem tudnak forogni, mert az átforduláshoz energia kell, ekkor viszont a lehűtés miatt nincs meg ez az energia, így a gumi rideggé válik. Így a deformációja ugyanúgy történik, mint a szilárd anyagoknál. Ha azt akarjuk, hogy a gumi nagyon rugalmas legyen, akkor az üvegesedési hőmérsékleten kell használni az anyagot.

Ha az \ref{fig:11} ábrát nézzük, akkor látható, hogy az üvegesedési hőmérséklet felett rugalmas az anyag, majd az üvegesedési hőmérsékleten a rugóállandója hirtelen változáson megy keresztül, és ezek után merev lesz. Minden esetben a relaxáció lassú, azaz az idő függvényében tovább változik az anyag, ezért látunk $4$ különböző görbét.

\section{Damil}

A horgászdamil nagy szakítószilárdságú anyag, amitől azt várjuk el hogy, ha a hal hirtelen megrántja, akkor kicsit meg tudjon nyúlni, nyeljen el energiát, de emelett ne szakadjon el. Azaz nagy legyen a teherbírása, de szükség esetén kis mértékig plasztikusan deformálható legyen. A damil nylon polimerszálakból epül fel, vannak benne kristályos és amorf részek is.\ref{fig:12} A térfogatának kb. $10\%$-a amorf. A damil hőtágulási együtthatója negatív.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=80mm]{damil.jpg}
\caption{A damil szerkezete}
\label{fig:12}
\end{figure}
\newpage
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} Kovács István, \emph{Szilárdtestek mechanikai tulajdonságai II.}, Budapest, $2003$.
\bibitem{2} Tomas H. Courtney, \emph{Mechanical Behavior of Materials}, Waveland Press, $2005$.
\bibitem{3} \url{http://teo.elte.hu/~doktor/ertekezes2008/nagy_p_m.pdf} (letöltve: 2015. december)
\end{thebibliography}

\end{document}