Tehát előző órán láttuk, hogy $u_{k}$ és $v_{k}$ -ra az alábbi feltételek adódtak: $u_{k}^{2} - v_{k}^{2} = 1$ és $[e_{k} + n v (k)] u_{k} v_{k} + n v (k) (u_{k}^{2} + v_{k}^{2}) = 0$ . Utóbbi abból jött, hogy azt akartuk, hogy $α_{k}$ és $α_{k}^{+}$ bevezetésével a Hamilton operátor diagonális legyen, azaz a $H = U + H_{11} + H_{20}$ egyenletből a $H_{20}$ tagra $H_{20} = 0$ fennálljon. $u_{k} = ch χ_{k}$ és $v_{k} = sh χ_{k}$ választással $u_{k}^{2} - v_{k}^{2} = 1$ egyenletet azonnal kielégítettük.

A $sh$ és $ch$ függvények azonosságait felhasználva vegyük észre a következőket! $2 u_{k} v_{k} = sh (2 χ_{k})$ $u_{k}^{2} + v_{k}^{2} = ch (2 χ_{k})$ Felhasználva, hogy $H$ -t diagonálisnak szeretnénk, $th (2 χ_{k}) = - \frac{n v (k)}{e_{k} + n v (k)}$ adódik. Ebből $sh (2 χ_{k}) = - \frac{n v (k)}{E (k)}$ és $ch (2 χ_{k}) = \frac{e_{k} + n v (k)}{E (k)}$ adódik, ahol $E (k)$ még nem biztos, hogy épp a korábban keresett. Visszaírva azonban a $sh$ és $ch$ függvények kétszeres szögértékeit az egyszeresekre, s ezt behelyettesítve a még ki nem elégített egyenletre, láthatjuk, hogy az teljesül, így $E (k)$ valóban a keresett mennyiséggel egyenlő.

A kvázirészecskék diszperziós relációja

Ebből már kifejezhető $E (k)$ : $E (k) = \sqrt{{[e_{k} + n v (k)]}^{2} + n^{2} v^{2} (k)} = E_{k}$ továbbá $u_{k}^{2} = \frac{1}{2} [\frac{e_{k} + n v (k)}{E_{k}} + 1]$ $v_{k}^{2} = \frac{1}{2} [\frac{e_{k} + n v (k)}{E_{k}} - 1]$ Ábrázolhatjuk az $E (k)$ függvényt. Kicsi $k$ esetén $E_{k} \approx \sqrt{2 n v (0) e_{k}} \sim k$ , mivel $e_{k} \sim k^{2}$ , tehát lineárisként indul a függvény. Ezeket a gerjesztéseket nevezhetjük fononoknak. A közelítésben feltettük, hogy a kölcsönhatás gyenge, így az erős kölcsönhatásokat nem tudja leírni, ami pl. a rotonokat okozza (pl $H e^{4}$ esetében). Állítás, hogy a gyenge kölcsönhatású közelítés az inflexiós környékét jól leírja.

A kondenzátumon kívüli atomok száma

$N' = \sum_{k \neq 0} 〈 B E C | a_{k}^{+} a_{k} | B E C 〉 = \sum_{k \neq 0} 〈 B E C | v_{k}^{2} α_{k} α_{k}^{+} + \underset{0 járulék}{\underset{︸}{u_{k}^{2} α_{k}^{+} α_{k}}} + ... | B E C 〉 = \sum_{k \neq 0} v_{k}^{2} = V \int \frac{d^{3} k}{{(2 π)}^{3}} v_{k}^{2}$ Ahol az összegre vonatkozó közelítést (határátmenetet) alkalmaztuk. A szög szerinti integrálást elvégezve $N' = V \frac{4 π}{{(2 π)}^{3}} \int_{0}^{\infty} d k \cdot k^{2} \frac{1}{2} [- 1 + \frac{e_{k} + n v (0)}{E_{k}}]$ Használjuk a $\frac{e_{k}}{n v (0)} = z^{2}$ helyettesítést, ekkor $z = k ξ_{B}$ és $ξ_{B} = \frac{ℏ}{\sqrt{2 m n v (0)}}$ , így $N' = \frac{V}{4 π^{2}} \frac{1}{ξ_{B}^{3}} \int_{0}^{\infty} d z \cdot z^{2} [- 1 + \frac{z^{2} + 1}{{(z^{4} + 2 z^{2})}^{1 / 2}}] = \frac{8 N}{2 \sqrt{π}} \sqrt{n a^{3}} + ...$ ahol az $a$ szórási hosszt a $v (0) = \frac{4 π ℏ^{2} a}{m}$ egyenlet definiálja. Ez a potenciál az $r$ helyen: $v (r) = \frac{4 π ℏ^{2} a}{m} δ^{(3)} (r)$ Láthatjuk, hogy $a = 0$ esetén – ami a kölcsönhatás nélküli gáznak felel meg – nincs a kondenzátumon kívül részecske, azaz $N' = 0$ . $N_{0} = N - N' = N [1 - \frac{8}{3 \sqrt{π}} \cdot \underset{D . lan param, ≪ 1}{\underset{︸}{\sqrt{n a^{3}}}} + ...]$

Kondenzált Bose rendszerek véges hőmérsékleten

Perturbációszámítás, nem ideális gáz vizsgálata

A Hamilton operátor: $H = \sum_{k} e_{k} a_{k}^{+} a_{k} + \frac{1}{2 V} \sum_{\binom{k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}}{k_{1} + k_{2} = k_{3} + k_{4}}} v (k_{1} - k_{3}) a_{k_{1}}^{+} a_{k_{2}}^{+} a_{k_{3}} a_{k_{4}}$ ahol $v (k) = 4 π ℏ^{2} a / m$ . $K = H - μ N$ .

$T < T_{c}$ esetén előírjuk, hogy $〈 a_{0} 〉 = \sqrt{N_{0}}$ . Ez persze csalás, de nem baj. Milyen szimmetria sérül ezáltal? Nézzük az $a_{k} \mapsto a_{k} e^{i Θ}$ és a $a_{k}^{+} \mapsto a_{k}^{+} e^{- i Θ}$ transzformációt! Ez a (globális) $U (1)$ szimmetria (szimmetria, azaz a transzformációt elvégezhetjük a mérhető paraméterek változása nélkül). A megadott előírás ezt sérti. Goldstone tétele szerint pedig sérülő folytonos (globális) szimmetria gap nélküli gerjesztéseket eredményez. Vezessük be a $b_{k} = a_{k} - \sqrt{N_{0}} δ_{k,0}$ és a $b_{k}^{+} = a_{k}^{+} - \sqrt{N_{0}} δ_{k,0}$ jelöléseket! Most írjuk be ezt a Hamilton operátorba! Vigyázat, hosszú lesz! $\sum_{k} (e_{k} - μ) a_{k}^{+} a_{k} = \sum_{k} (e_{k} - μ) (b_{k}^{+} + \sqrt{N_{0}} δ_{k,0}) (b_{k} + \sqrt{N_{0}} δ_{k,0}) =$ $= \sum_{k} (e_{k} - μ) [b_{k}^{+} b_{k} + N_{0} (b_{k}^{+} + b_{k}) δ_{k,0} + N_{0} δ_{k,0}] = \underset{K_{0}}{\underset{︸}{\sum_{k} (e_{k} - μ) b_{k}^{+} b_{k}}} - \underset{K_{1}'}{\underset{︸}{μ \sqrt{N} (b_{0} + b_{0}^{+})}} - \underset{K_{0}'}{\underset{︸}{μ N_{0}}}$ A kölcsönhatási rész: $\frac{v (0)}{2 V} \cdot \sum_{\binom{k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}}{k_{1} + k_{2} = k_{3} + k_{4}}} a_{k_{1}}^{+} a_{k_{2}}^{+} a_{k_{3}} a_{k_{4}} = K_{I,4} + K_{I,3} + K_{I,1} + K_{I,0}$ ahol $K_{I,4} = \frac{1}{2 V} \cdot \sum_{\binom{k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}}{k_{1} + k_{2} = k_{3} + k_{4}}} b_{k_{1}}^{+} b_{k_{2}}^{+} b_{k_{3}} b_{k_{4}} v (k_{1} - k_{3})$
$K_{I,3} = \frac{\sqrt{N_{0}} v (0)}{2 V} \cdot \sum_{\binom{k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}}{k_{1} + k_{2} = k_{3} + k_{4}}} (b_{k_{1}}^{+} b_{k_{2}}^{+} b_{k_{3}} δ_{k_{4},0} + b_{k_{1}}^{+} b_{k_{2}}^{+} b_{k_{4}} δ_{k_{3},0} + b_{k_{1}}^{+} b_{k_{3}} b_{k_{4}} δ_{k_{2},0} + b_{k_{2}}^{+} b_{k_{3}} b_{k_{4}} δ_{k_{1},0})$
$K_{I,2} = \frac{N_{0}}{2 V} \cdot \sum_{\binom{k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}}{k_{1} + k_{2} = k_{3} + k_{4}}} (\begin{array}{l} b_{k_{1}}^{+} b_{k_{2}}^{+} δ_{k_{3},0} δ_{k_{4},0} + b_{k_{1}}^{+} δ_{k_{2},0} b_{k_{3}} δ_{k_{4},0} + δ_{k_{1},0} b_{k_{2}}^{+} b_{k_{3}} δ_{k_{4},0} + \\ + δ_{k_{1},0} b_{k_{2}}^{+} δ_{k_{3},0} b_{k_{4}} + b_{k_{1}}^{+} δ_{k_{2},0} δ_{k_{3},0} b_{k_{4}} + δ_{k_{1},0} δ_{k_{2},0} b_{k_{3}} b_{k_{4}} \end{array}) v (k_{1} - k_{3})$
$K_{I,1} = \frac{N_{0}^{3 / 2}}{2 V} v (0) (2 b_{0}^{+} + 2 b_{0})$ valamint
$K_{I,0} = \frac{N_{0}^{2}}{2 V} v (0)$ Így tömör írásmódban $U = K_{0} + \sum_{i = 0}^{4} K_{I, i} + K_{0}' + K_{1}'$

Green-függvény

Definiáljuk a következő Green-függvényeket!

G_{1,1} (k, τ) : = - 〈 T_{τ} [b_{k} (τ) \cdot b_{k}^{+} (0)] 〉

ahol az operátor $τ$ függése ezt jelenti: $O (τ) = e^{\frac{K τ}{ℏ}} O_{S} e^{- \frac{K τ}{ℏ}}$ várható értéke $〈 O 〉 = S p (ρ_{G} O)$ ahol $ρ_{G} = e^{\frac{- β K}{Z_{G}}}$ Ebből látszik, hogy a vannak olyan operátorok, melyek várható értéke nem 0, noha megváltoztatják a részecskeszámot. Soktestprobéma I órán ezt a Green-függvényt használtuk. Az új, további függvények:

G_{1,2} (k, τ) = - 〈 T_{τ} [b_{- k} (τ) b_{k} (0)] 〉

G_{2,1} (k, τ) = - 〈 T_{τ} [b_{- k}^{+} (τ) b_{k}^{+} (0)] 〉

G_{2,2} (k, τ) = - 〈 T_{τ} [b_{- k}^{+} (τ) b_{- k} (0)] 〉

A fenti függvényekben $T_{τ}$ időrendező operátor: a nagyobb argumentumú kerül „balra”, azonos argumentum esetén pedig a keresztes kerül „balra”.

A Green függvények között az alábbi összefüggések érvényesek.
$G_{2,1} (k, τ) = G_{1,2} (- k, - τ)$
$G_{1,1} (k, τ) = G_{2,2} (- k, τ)$
Ezeket a függvényeket mátrixba foglalhatjuk:
$G (k, τ) = (\begin{matrix} G_{1,1} & G_{1,2} \\ G_{2,1} & G_{2,2} \end{matrix})$
Általános összefüggés, hogy
$G_{α, β} (k, i ω_{n}) = \int_{0}^{β ℏ} G_{α, β} (k, τ) e^{i ω_{n} τ} d τ$ ahol $ω_{n} = \frac{2 n π}{β ℏ}$ , mivel valamennyi $G_{α, β}$ periodikus $β ℏ$ szerint a 2. argumentumában, illetve $G_{α, β} (k, τ) = \frac{1}{β ℏ} \sum_{n} G (k, i ω_{n}) e^{- i ω_{n} τ}$ A szabad Green-függvények: $G_{1,1}^{(0)} (k, i ω_{n}) = \frac{1}{i ω_{n} - ℏ^{- 1} (e_{k} - μ)}$
$G_{2,2}^{0} (k, i ω_{n}) = \frac{1}{- i ω_{n} - ℏ^{- 1} (e_{k} - μ)}$
$G_{1,2}^{0} (k, i ω_{n}) = 0 = G_{2,1}^{0} (k, i ω_{n})$

Feynman-diagramok

Milyen Feynman-digramok fordulhatnak elő? A perturbáció most $K_{1}'$ és $K_{I, i}$ , $i \in {1,...,4}$ (Soktestprobléma I-ben csak a $K_{I,4}$ volt).

K_{I,4} = \frac{1}{2 V} \cdot \sum_{\binom{k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}}{k_{1} + k_{2} = k_{3} + k_{4}}} b_{k_{1}}^{+} b_{k_{2}}^{+} b_{k_{3}} b_{k_{4}} v (k_{1} - k_{3})

(a tavalyiaknak megfelelően)

Az egyik tagja a $K_{I,3}$ -nak:

\frac{\sqrt{N_{0}} v (0)}{2 V} \cdot \sum_{\binom{k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}}{k_{1} + k_{2} = k_{3} + k_{4}}} b_{k_{1}}^{+} b_{k_{2}}^{+} b_{k_{3}} δ_{k_{4},0}

a kör egy

\sqrt{N_{0}}

szorzót jelöl

Az egyik tagja a $K_{I,2}$ -nek

\frac{N_{0}}{2 V} \cdot \sum_{\binom{k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}}{k_{1} + k_{2} = k_{3} + k_{4}}} δ_{k_{1},0} b_{k_{2}}^{+} b_{k_{3}} δ_{k_{4},0} v (k_{1} - k_{3})

$K_{I,1}$ eltüntető részéhez tartozik

\frac{N_{0}^{3 / 2}}{2 V} v (0) b_{0}

K_{I,0} = \frac{N_{0}^{2}}{2 V} v (0)

$K_{1}'$ egyik tagja (az eltüntető operátorral)

(- μ) \sqrt{N_{0}} b_{0}

a háromszög a

- μ

-vel való szorzást jelöli

$K_{1}'$ másik tagja (a keltő operátorral):

(- μ) \sqrt{N_{0}} b_{0}^{+}

K_{0}'