A kölcsönható rendszer Green-függvénye:

- G_{1,1} (k, i ω_{n}) = - G_{(0)} (k, i ω_{n}) + (- ℏ^{- 1}) v (0) {[- G_{(0)} (k, i ω_{n})]}^{2} \frac{1}{β ℏ} \sum_{m} \frac{1}{V} \sum_{q} [- G_{(0)} (q, i ω_{n})] e^{i ω_{n} η} +

+ (- ℏ^{- 1}) {[- G_{(0)} (k, i ω_{n})]}^{2} \frac{1}{β ℏ} \sum_{m} \frac{1}{V} \sum_{q} v (q - k) [- G_{(0)} (q, i ω_{n})] e^{i ω_{n} η} +

+ (- ℏ^{- 1}) {[- G_{(0)} (k, i ω_{n})]}^{2} v (0) \frac{N_{0}}{V} + (- ℏ^{- 1}) {[G_{0} (k, i ω_{n})]}^{2} \frac{N_{0}}{V} v (- k)

- G_{1,2} (k, i ω_{n}) = (- ℏ^{- 1}) [- G_{0} (k, i ω_{n})] [- G_{0} (- k, - i ω_{n})] \cdot \frac{N_{0}}{V} v (- k)

ebből láthatjuk, hogy az anomális Green-függvénynek nincs 0. rendje, azaz ha $v = 0 \Rightarrow G_{1.2} = 0$ . $G_{1,2}$ akkor is eltűnik, ha nincs kölcsönhatás.

$N_{0}$ meghatározása

$N_{0}$ -t eddig paraméterként használtuk a $b_{k} = a_{k} - \sqrt{N_{0}} δ_{k,0}$ egyenletben, ahol $〈 a_{0}^{+} a_{0} 〉 \overset{B o g o .}{\approx} {〈 a_{0} 〉}^{2} = N_{0}$ , így $〈 a_{0} 〉 = \sqrt{N_{0}} \Rightarrow 〈 b_{0} 〉 = 0$ . Most erre szeretnénk felírni perturbációs sort:

0 = (- ℏ^{- 1}) [\sqrt{N_{0}} (- μ) + N_{0}^{3 / 2} v (0) + \frac{\sqrt{N_{0}}}{V} \sum_{q} (v (0) + v (q)) \underset{n'_{q} = 1 / (e^{β (e_{q} - μ)} - 1)}{\underset{︸}{\frac{- 1}{β ℏ} \sum_{m} G_{(0)} (q, i ω_{n})}}]

μ = \frac{N_{0}}{V} v (0) + \frac{1}{V} \sum_{q} [v (0) + v (q)] n'_{q} + ...

0 hőmérsékleten, ha $n'$ elhanyagolható, ekkor a Bogoljubov kémiai potenciál: $μ^{(B)} = n_{0} v (0)$ , ahol $n_{0} = N_{0} / V$ .

Megjegyzés

1: $〈 b_{0} 〉 = 0$ , $〈 b_{0}^{+} 〉 = 0$ , vagyis az összes olyan Feynman diagram összege, amibe csak 1 vonal fut be, 0.

Az ábráról látható következmény, hogy sose kell 3 keltő vagy eltüntető operátort tartalmazó diagramot számolni, mert azok összege 0. (Kiemelve azokból azt a részt, amibe csak 1 vonal fut be, azok összege 0.) Azaz az alábbi diagramokat nem kell számolni:

2: ha $v (0) > 0$ , ekkor $μ > 0$ , azaz $μ = n_{0} v (0) + ...$ $G_{(0)} (k, i ω_{n}) = \frac{1}{i ω_{n} - ℏ^{- 1} (e_{k} - μ)} \Rightarrow n'_{k} = \frac{- 1}{β ℏ} \sum_{m} G_{(0)} (k, i ω_{n}) e^{i ω_{n} η} = \frac{1}{e^{β (e_{k} - μ)} - 1}$ és ha ebbe behelyettesítjük a pozitív kémiai potenciált, akkor $n'_{k}$ negatív értéket is felvehet, és a szabad Green-függvény pedig divergál, és ez a kezelhetetlenné teszi a szabad Green-függvényt.

$K_{0} = \sum_{k} (e_{k} - μ) b_{k}^{+} b_{k} = \underset{K_{0}'}{\underset{︸}{\sum_{k} (e_{k} - μ_{0}) b_{k}^{+} b_{k}}} + \underset{K_{2}'}{\underset{︸}{\sum_{k} (μ_{0} - μ) b_{k}^{+} b_{k}}}$ Utóbbi tag diagramja:

vagyis $μ$ -t perturbációnak vesszük. Így a szabad Green-függvényünk: $G_{(0)} (k, i ω_{n}) = (\begin{matrix} \frac{1}{i ω_{n} - ℏ^{- 1} e_{k}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{- i ω_{n} - ℏ^{- 1} e_{k}} \end{matrix})$

Dyson-Beljajev (Beliaiev) egyenlet

$G_{α, β} (k, i ω_{n}) = G_{(0); α, β} (k, i ω_{n}) + G_{(0); α, γ} (k, i ω_{n}) Σ_{γ, δ} (k, i ω_{n}) G_{δ, β} (k, i ω_{n})$ mátrixos írásmódban ugyanezt kiírva: $G (k, i ω_{n}) = G^{(0)} (k, i ω_{n}) + G^{(0)} (k, i ω_{n}) Σ (k, i ω_{n}) G (k, i ω_{n})$ melyből szeretnénk $G_{α β} (k, i ω_{n})$ -t kifejezni. A kifejezéshez invertálni kell egy 2×2-es mátrixot, ami nem akadály: $G_{1,1} (k, i ω_{n}) = \frac{i ω_{n} + ℏ^{- 1} e_{k} + Σ_{2,2} (k, i ω_{n})}{D (k, i ω_{n})}$ $G_{2,1} (k, i ω_{n}) = \frac{- Σ_{2,1} (k, i ω_{n})}{D (k, i ω_{n})}$ ahol $D (k, i ω_{n})$ a determináns: $D (k, i ω_{n}) = [i ω_{n} - ℏ^{- 1} e_{k} - Σ_{1,1} (k, i ω_{n})] [i ω_{n} + ℏ^{- 1} e_{k} + Σ_{2,2} (k, i ω_{n})] + Σ_{1,2} (k, i ω_{n}) Σ_{2,1} (k, i ω_{n})$ Grafikusan szemléltetve a következőt láthatjuk:

A felső sor, $G_{1,1} (k, i ω_{n})$ -hoz tartozó eredmény grafikus bizonygatása:

Vegyük ugyanis észre a zárójelezésben a Green-függvényeket! Behelyettesítve őket adódik az eredmény.

Bogoljubov-közelítés

Kémiai potenciál és $n_{0}$ kapcsolata

$- Σ_{0,1}^{B}$ annak a sajátenergiája, amibe csak 1 vonal fut be:

vagyis $- μ^{B} + v (0) n_{0} = 0 \Leftrightarrow μ^{B} = n_{0} v (0)$

$Σ_{1,1}^{B} (k, i ω_{n}) = ℏ^{- 1} n_{0} v (k)$

$Σ_{1,2}^{B} (k, i ω_{n}) = ℏ^{- 1} n_{0} v (k)$

$Σ_{2,2}^{B} (k, i ω_{n}) = Σ_{1,1}^{B} (- k, - i ω_{n})$

$Σ_{2,1}^{B} (k, i ω_{n}) = Σ_{1,2}^{B} (- k, - i ω_{n})$

$D^{(B)} (k, i ω_{n}) = [i ω_{n} - ℏ^{- 1} (e_{k} + n_{0} v (k))] [i ω_{n} + ℏ^{- 1} (e_{k} + n_{0} v (k))] + {(ℏ^{- 1} n_{0} v (k))}^{2}$

$G_{1,1}^{(B)} (k, i ω_{n}) = \frac{i ω_{n} ℏ^{- 1} (e_{k} + n_{0} v (k))}{D^{(B)} (k, i ω_{n})}$

$G_{2,1}^{(B)} (k, i ω_{n}) = \frac{- ℏ^{- 1} n_{0} v (k)}{D^{(B)} (k, i ω_{n})}$