Terjesszük ki a Green-függvényt a komplex félsíkon, hogy megkapjuk a gerjesztéseket! $i ω_{n} \to ω + i ε$ Hol divergál $G_{1,1}^{(B)} (k, i ω_{n})$ függvény? Ahol a nevezője 0. Ezek adják meg az elemi gerjesztéseket. Ezeknek a frekvenciái, vagyis ahol ${D^{(B)} (k, i ω_{n}) |}_{ω = ℏ E_{k}} = 0$ : $0 = E_{k}^{2} - ℏ^{- 2} {(e_{k} + n_{0} v (k))}^{2} + ℏ^{- 2} n_{0}^{2} v^{2} (k)$ ebből kifejezhető: $ℏ E_{k} = \sqrt{e_{k} (e_{k} + 2 n_{0} v (k))}$ mely kicsi $k$ értékekre: $E_{k} \approx ℏ c \cdot k$ , ahol $e_{k} = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 m}$ összefüggést helyettesítettünk be és $c = \sqrt{\frac{n_{0} v (0)}{m}}$ a Bogoljubov hangsebesség.

$D (k, i ω_{n}) = (i ω_{n} - ℏ^{- 1} E_{k}) (i ω_{n} + ℏ^{- 1} E_{k})$ , így $G_{1,1}^{(B)} (k, i ω_{n})$ parciális törtek alakjában felírva: $G_{1,1}^{(B)} (k, i ω_{n}) = \frac{u_{k}^{2}}{i ω_{n} - ℏ^{- 1} E_{k}} - \frac{v_{k}^{2}}{i ω_{n} + ℏ^{- 1} E_{k}}$ ahol $u_{k}^{2} = \frac{1}{2} [1 + \frac{e_{k} + n_{0} v (k)}{E_{k}}]$ és $v_{k}^{2} = \frac{1}{2} [- 1 + \frac{e_{k} + n_{0} v (k)}{E_{k}}]$ . Az anomális Green-függvény pedig: $G_{1,2}^{(B)} (k, i ω_{n}) = - u_{k} v_{k} \cdot (\frac{1}{i ω_{n} - ℏ^{- 1} E_{k}} - \frac{1}{i ω_{n} + ℏ^{- 1} E_{k}})$

Bogoljubov-Hartree közelítés

A közelítés során csak a Hartree tagot vesszük figyelembe. Ez a legegyszerűbb közelítés a Bogoljubov közelítésen túl.

kondenzátum részecskeszám (sűrűség) és kémiai potenciál kapcsolata $= ℏ^{- 1} \sqrt{N_{0}} [- μ + v (0) n_{0} + v (0) \frac{1}{β ℏ} \sum_{m} \int \frac{d^{3} q}{{(2 π)}^{3}} (- G_{0} (q, i ω_{n}))] \cdot - G_{0} (0,0)$ Ekkor $μ = v (0) \cdot (n_{0} + n') = v (0) \cdot n$ . Fontos, hogy itt $v (0)$ -at már a teljes részecskeszám-sűrűséggel szorozzuk. A kondenzátumon kívüli részecskeszám sűrűsége: $n' = N' / V = \int \frac{d^{3} q}{{(2 π)}^{3}} \frac{1}{e^{β e_{q}} - 1} = \frac{1}{{(2 π)}^{3} λ^{3}} Γ (\frac{3}{2}) F (\frac{3}{2},0)$ ahol $F (s, γ) = \frac{1}{Γ (s)} \cdot \int_{0}^{\infty} d t \frac{t^{s - 1}}{e^{t + γ} - 1} = L i_{s} (e^{- γ})$ , ahol $L i_{s}$ az ún. polilogaritmikus függvény, $Γ (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- t} t^{s - 1} d t$ , és $λ = \frac{ℏ^{2}}{2 m k_{B} T}$ , valamint $F (s,0) = ζ (s)$ . $n' = n \cdot {(T / T_{c})}^{3 / 2}$ és $n_{0} = n - n' = n [1 - {(T / T_{c})}^{3 / 2}]$ és $n = n' (T_{c})$ , mint ahogy azt már megszokhattuk.
sajátenergiák $ℏ Σ_{1,1} (k, i ω_{n}) = (- μ) + v (0) n_{0} + v (k) n_{0} + v (0) n'$ az anomális sajátenergia pedig: $ℏ Σ_{1,2} = v (k) \cdot n_{0}$ Vegyük észre, hogy $ℏ Σ_{1,1} (k, i ω_{n})$ 1, 2. és 4. tagjának összege 0, így $ℏ Σ_{1,1} (k, i ω_{n}) = v (k) \cdot n_{0}$

Diszperziós reláció a
Bogoljubov-Hartree közelítésben

A Green-függvények
$G_{1,1}^{(B - H)} (k, i ω_{n}) = \frac{u_{k}^{2}}{i ω_{n} - ℏ^{- 1} E_{k}} - \frac{v_{k}^{2}}{i ω_{n} + ℏ^{- 1} E_{k}}$ és $G_{1,2}^{(B - H)} (k, i ω_{n}) = - u_{k} v_{k} \cdot (\frac{1}{i ω_{n} - ℏ^{- 1} E_{k}} - \frac{1}{i ω_{n} + ℏ^{- 1} E_{k}})$ ahol $E_{k} = \sqrt{e_{k} (e_{k} + 2 n_{0} v (k))}$ , valamint $u_{k}^{2} = \frac{1}{2} [1 + \frac{e_{k} + n_{0} v (k)}{E_{k}}]$ és $v_{k}^{2} = \frac{1}{2} [- 1 + \frac{e_{k} + n_{0} v (k)}{E_{k}}]$ . Vagyis láthatjuk, hogy formálisan ugyanazt kapjuk, mint a Bogoljubov közelítésnél. A különbség az, hogy $n_{0} (T) = n (1 - {(T / T_{c})}^{3 / 2})$ hőmérséklet-függő. Ez akkor a Bogoljubov közelítés, ha $T = 0$ . Ebben a közelítésben $c \to 0$ ha $T \to T_{c}$ .

Kondenzátumon kívüli atomok száma

A teljes propagátorból számolva $n' = \int \frac{d^{3} k}{{(2 π)}^{3}} n' (k)$ , melyben $n' (k) = \frac{- 1}{β ℏ} \sum_{m} e^{i ν_{m} η} \cdot G_{1,1} (k, i ω_{n}) = \frac{- 1}{β ℏ} \sum_{m} e^{i ν_{m} η} \cdot [\frac{u_{k}^{2}}{i ω_{n} - ℏ^{- 1} E_{k}} - \frac{v_{k}^{2}}{i ω_{n} + ℏ^{- 1} E_{k}}]$ Végezzük el a frekvencia szerinti integrálást! $n' (k) = \frac{u_{k}^{2}}{e^{β E_{k}} - 1} - \frac{v_{k}^{2}}{e^{- β E_{k}} - 1} = \frac{u_{k}^{2} + e^{β E_{k}} \cdot v_{k}^{2}}{e^{β E_{k}} - 1} = v_{k}^{2} + (u_{k}^{2} + v_{k}^{2}) \cdot \frac{1}{e^{β E_{k}} - 1}$ Ezt visszaírva $n'$ -be, az már csak az integrálást kell elvégezni. Ez nem mindig tehető meg analitikusan, csak speciális esetekben. Pl

$T = 0$ esetén (Bogo. közelítés): $n' (k) = v_{k}^{2} \Rightarrow {n' |}_{T = 0} = \frac{8}{3} n_{0} {(\frac{n_{0} a^{3}}{π})}^{1 / 2}$
$T = T_{c}$ esetén (szabad, nem kondenzált gáz): $\begin{matrix} E_{k} = e_{k} \\ v_{k}^{2} = 0 \\ u_{k}^{2} = 1 \end{matrix}} \Rightarrow n' (k) = n (k)$
$T \to 0$ , de $T \neq 0$ esetén: ${n' |}_{T} - {n' |}_{T = 0} = \frac{1}{12} \frac{m}{c ℏ^{3}} {(k_{B} T)}^{2}$ , ahol $c$ a Bogoljubov hangsebesség, $c^{2} = n v (0) / m$

Érdekesség

Bogoljubov közelítésben nézzük meg, hogy a $G_{1,1}^{(B)} (k, i ω_{n}) = \frac{i ω_{n} + ℏ^{- 1} (e_{k} + n_{0} \cdot v (k))}{[i ω_{n} - ℏ^{- 1} (e_{k} + n_{0} v (k))] \cdot [i ω_{n} + ℏ^{- 1} (e_{k} + n_{0} v (k))] + ℏ^{- 2} n_{0}^{2} v {(k)}^{2}}$ Green-függvény felírható-e $G_{1,1}^{B} (k, i ω_{n}) = \frac{1}{i ω_{n} - ℏ^{- 1} e_{k} - Σ^{*} (k, i ω_{n})}$ alakban, azaz létezik-e ilyen $Σ^{*}$ ? A válasz az, hogy igen, és mégpedig: $Σ^{*} (k, i ω_{n}) = \frac{ℏ^{- 1} n_{0} v (k)}{1 - \frac{ℏ^{- 1} n_{0} \cdot v (k)}{- i ω_{n} - ℏ^{- 1} e_{k}}}$

Hugenholtz-Pines tétel

$Σ_{1,1} (0,0) - Σ_{1,2} (0,0) = 0$ igaz a perturbációszámítás minden rendjében. Láthatjuk néha $Σ_{1,1} (0,0) - Σ_{1,2} (0,0) = μ$ alakban is, de mi a kémiai potenciált a normális sajátenergia részeként kezeljük. A bizonyításhoz tekintsük az ábrákat! A normális sajátenergia diagramja 1 ki- és 1 bejövő, az anomális sajátenergia diagramja pedig 2 kimenő élt tartalmaz:

Most pedig tekintsünk egy r-ed rendű diagramot, mely nem csatlakozik külső pontohoz, mert az éleket karikákra cseréltük:

Σ_{1,1}^{(r)} (0,0) = \frac{1}{N_{0}} \sum_{i, j} i \cdot j \cdot ϕ_{i, j}^{(r)}

Mik lehetnek ezek a $ϕ_{i, j}^{(r)}$ diagramok? Nézzünk 2 példát!

$\begin{array}{l} Σ_{1,1}^{(r)} (0,0) - Σ_{1,2}^{(r)} (0,0) = \frac{1}{N_{0}} \sum_{i, j} (i \cdot j - i (i - 1)) ϕ_{i, j}^{(r)} = \frac{1}{N_{0}} \sum_{i} (i^{2} - i^{2} + i) ϕ_{i, j}^{(r)} = \frac{1}{N_{0}} \sum_{i} i ϕ_{i, i}^{(r)} = \\ = \frac{1}{\sqrt{N_{0}}} \frac{1}{\sqrt{N_{0}}} \sum_{i} i ϕ_{1,1}^{(r)} = \frac{1}{\sqrt{N_{0}}} Σ_{1,0}^{(r)} (0,0) = 0 \end{array}$ Az egyenlőség második sorában a bal oldalt az alábbi diagram ábrázolja:

Gap néküli gerjesztés: $E_{k \to 0} \to 0$ , azaz $E_{k}$ a 0-ból indul $\Rightarrow D (0,0) = 0$ . Behelyettesítve $D (k, i ω_{n}) = [i ω_{n} - ℏ^{- 1} (e_{k} + n_{0} v (k))] [i ω_{n} + ℏ^{- 1} (e_{k} + n_{0} v (k))] + {(ℏ^{- 1} n_{0} v (k))}^{2}$ egyenletbe, $\begin{array}{l} D (0,0) = - Σ_{1,1} (0,0) Σ_{2,2} (0,0) + Σ_{1,2} (0,0) Σ_{2,2} (0,0) = - Σ_{1,1}^{2} (0,0) + Σ_{1,2}^{2} (0,0) = \\ = - [Σ_{1,1} (0,0) - Σ_{1,2} (0,0)] \cdot [Σ_{1,1} (0,0) + Σ_{1,2} (0,0)] \end{array}$ ahol felhasználtuk, hogy $Σ_{1,1} (k, i ω_{n}) = Σ_{2,2} (- k, - i ω_{n})$ , illetve $Σ_{1,2} (k, i ω_{n}) = Σ_{2,1} (- k, i ω_{n})$ .