Kétrészecske kölcsönhatás vákuumban

Két részecskénk van csak egyelőre, 2 bozon vagy fermion. A Hamilton-operátor: $$H=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}+v\left(r_1-r_2\right)$$ Ekkor a Schrödinger egyenlet $$H\psi \left(r_1,r_2\right)=E\psi \left(r_1,r_2\right)$$ Bevezethetünk új térkoordinátákat, a tömegközéppontit és a relítvat: $$R=\frac{r_1+r_2}{2}$$ $$r=r_1-r_2$$ És új impulzusokat: $$P=\frac{p_1+p_2}{2}$$ $$p=\frac{p_1-p_2}{2}$$ Ekkor $\psi$ térfüggése felírható szorzatalakban: $$\psi \left(R,r\right)=\psi \left(r\right)\cdot e^{ikR}$$ A Hamilton operátor az új koordinátákkal, bevezetve az össztömeg $M=m+m$ és redukált tömeg $\mu =\frac{m+m}{m\cdot m}$ kifejezéseit (különböző tömegű részecskék esetén $m$-ek értelemszerű indexelésével): $$H=\frac{P^2}{2M}+\frac{p^2}{2\mu }+v\left(r\right)$$ Így a Schrödinger-egyenlet: $$\left[\frac{-{\hslash }^2{\Delta }_r}{2M}+\frac{{\hslash }^2{K}^2}{2M}+v\left(r\right)\right]\psi \left(r\right)=E\psi \left(r\right)$$ Ekkor bevezetve a $k^2=\frac{m}{{\hslash }^2}E-\frac{K^2}{4}$ és $V\left(r\right)=\frac{m}{{\hslash }^2}v\left(r\right)$ mennyiségeket, a Schrödinger egyenlet a következő alakban írható: $$\left({\Delta }_r+k^2\right)\psi \left(r\right)=V\left(r\right)\psi \left(r\right)$$ Definiáljuk a Schrödinger egyenlet Green-függvényét: $$\left({\Delta }_r+k^2\right)G_k^{(+)}\left(r-r\text{'}\right)=-\delta \left(r-r\text{'}\right)$$ A Schrödinger egyenlet megoldásai:

• Kölcsönhatás-mentes esetben, azaz ha $V=0$ , az egyik megoldás: $${\psi }_k^{(+)}\left(r\right)=e^{ikr}$$
• kölcsönható (általános) esetben az egyik megoldás: $${\psi }_k^{(+)}\left(r\right)=\lambda \cdot e^{ikr}-{\displaystyle \int G_k^{(+)}\left(r-r\text{'}\right)V\left(r\text{'}\right){\psi }_k^{(+)}\left(r\text{'}\right)}{d}^{3}r\text{'}$$ Ennek megoldását már más tárgyakból is tanultuk: $$G_k^{(+)}\left(r-r\text{'}\right)={\displaystyle \int \frac{d^{3}q}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{e^{iq\left(r-r\text{'}\right)}}{q^2-k^2-i\eta }}=\frac{1}{4\pi }\frac{e^{ik\left|r-r\text{'}\right|}}{\left|r-r\text{'}\right|}$$

Ha $r\gg r_0$ , $G_k^{(+)}$ sorbafejthető, mert $\left|r-r\text{'}\right|=r\left|e_r-r\text{'}/r\right|\approx r-rr\text{'}/r+O\left(r_0/r\right)$ , így : $G_k^{(+)}\left(r-r\text{'}\right)=\frac{1}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}{e}^{-\frac{ikrr\text{'}}{r}}$ .

Ekkor a megoldás: $${\psi }_k^{(+)}\left(r\right)\sim e^{ikr}-\frac{1}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}{\displaystyle \int e^{-ik\text{'}r\text{'}}\cdot V\left(r\text{'}\right){\psi }_k^{(+)}\left(r\text{'}\right)}{d}^{3}r\text{'}$$ Definiálhatjuk a szórási amplitúdót: $$f^{(+)}\left(k,k\text{'}\right):=-\frac{1}{4\pi }{\displaystyle \int e^{-ik\text{'}r\text{'}}V\left(r\text{'}\right){\psi }_k^{(+)}\left(r\text{'}\right)}{d}^{3}r\text{'}$$

Megjegyzés: ott, ahol $V\left(r\right)$ divergál, ott ${\psi }_k^{(+)}\left(r\right)$ eltűnik, viszont $f^{(+)}\left(k,k\text{'}\right)$ véges marad. Perturbatív kezelés nem lehetséges, mert véges rendben nem lehet levinni $\psi$ -t 0-ba.

Fourier-transzformáljuk a potenciált és a hulláfüggvényt: $$V\left(q\right)={\displaystyle \int e^{-iqr}}\cdot V\left(r\right)d^{3}r$$ $${\psi }_k\left(q\right)={\displaystyle \int e^{-iqr}{\psi }_k^{(+)}\left(r\right)}={\left(2\pi \right)}^3\delta \left(q-k\right)-\frac{1}{q^2-k^2-i\eta }{\displaystyle \int V\left(p\right){\psi }_k\left(q-p\right)}\frac{d^{3}p}{{\left(2\pi \right)}^3}$$ Ekkor a szórási amplitúdók kifejezhetőek ezekkel a mennyiségekkel: $$\widetilde{f^{(+)}}\left(k,k\text{'}\right):=-4\pi f^{(+)}\left(k,k\text{'}\right)={\displaystyle \int V\left(p\right){\psi }_k\left(k\text{'}-p\right)}\frac{d^{3}p}{{\left(2\pi \right)}^3}={\displaystyle \int V\left(k\text{'}-p\right){\psi }_k\left(p\right)}\frac{d^{3}P}{{\left(2\pi \right)}^3}$$ $$\widetilde{f^{(+)}}\left(k,k\text{'}\right)=V\left(k-k\text{'}\right){\displaystyle \int \frac{V\left(k\text{'}-p\right)\widetilde{f^{(+)}}\left(k,p\right)}{k^2-p^2+i\eta }}\frac{d^{3}p}{{\left(2\pi \right)}^3}$$(2)

Megjegyzés:

• $f\left(k,k\text{'}\right)$ -t megkapjuk nem csak a tömeghéjon
• erős taszító potenciálban megoldva minden rend divergens
• Born-közelítés: $\widetilde{f^{(+)}}\left(k,k\text{'}\right)=V\left(k-k\text{'}\right)$
• Parciális hullámok módszere: $$f\left(k,k\text{'}\right)=-\frac{1}{4\pi }\tilde{f}\left(k,k\text{'}\right)={\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }\frac{2l+1}{k}\sin \left({\delta }_l\right)P_l\left(\cos \vartheta \right)}$$ ${\delta }_0=-ka$ (s-hullámú szórási hossz), ${\delta }_l={\left|ka\right|}^{2l+1}$ Ga $\left|k\cdot a\right|\ll 1$ , akkor elég csak az s-hullámot figyelembe venni: $\Rightarrow f\left(k,k\text{'}\right)=-a\left(1+O\left(k\cdot a\right)\right)$ , így $$\tilde{f}=4\pi a\Rightarrow V\left(k\right)=4\pi a\Rightarrow v\left(k\right)=\frac{4\pi {\hslash }^{2}a}{m}$$
• Merev gömbű, $r_0$ sugarú potenciálra a szórási hossz, ha csak az s hullámú szórási hossz vesszük figyelembe, épp $2\cdot r_0$

Kétrészecske szórás közegben

Definiáljuk a négypontfüggvényt, vagy más néven T-mátrixot: $\Gamma \left(k_1,k_2,k_3,k_4\right)=v\left(k_1-k_3\right)-{\displaystyle \int \frac{1}{\beta {\hslash }^2}{\displaystyle \sum _{m}v\left(q\right)G_{\left(0\right)}\left(k_1-q\right)G_{\left(0\right)}\left(k_2+q\right)\Gamma \left(k_1-q,k_2+q,k_3,k_4\right)}}\frac{d^{3}q}{{\left(2\pi \right)}^3}$ A T-mátrix diagramja:

Állítás: $\Gamma$ nem függ az átadott frekvenciától. Ezért a Matsubara-frekvenciákra való összegzés elvégezhető. $$\frac{1}{\beta {\hslash }^2}{\displaystyle \sum _m{G}_{\left(0\right)}\left(k_1-q\right)G_{\left(0\right)}\left(k_2+q\right)}=\frac{1}{\beta {\hslash }^2}{\displaystyle \sum _m\frac{1}{i{\omega }_1-i{\nu }_m-{\hslash }^{-1}\left(e_{k_1-q}-\mu \right)}\cdot \frac{1}{i{\omega }_2+i{\omega }_m-{\hslash }^{-1}\left(e_{k+q}-\mu \right)}}=$$ $$=\frac{1}{\beta {\hslash }^2}{\displaystyle \sum _m\frac{1}{i{\omega }_1+i{\omega }_2-{\hslash }^{-1}\left(e_{k_1-q}+e_{k_2+q}-2\mu \right)}\left[\frac{1}{i{\omega }_1-i{\nu }_m-{\hslash }^{-1}\left(e_{k_1-q}-\mu \right)}+\frac{1}{i{\omega }_2+i{\nu }_m-{\hslash }^{-1}\left(e_{k_2+q}-\mu \right)}\right]}=$$ $$=-\frac{1}{\hslash }\frac{1+n^{\left(0\right)}\left(k_1-q\right)+n^{\left(0\right)}\left(k_2+q\right)}{i{\omega }_{n_1}+i{\omega }_{n_2}-{\hslash }^{-1}\left(e_{k_1-q}+e_{k_2+q}-2\mu \right)}$$ ahol $n^{\left(0\right)}\left(k\right)=\frac{1}{e^{\beta \left(e_k-\mu \right)}-1}$ .

Tömegközépponti és relatív koordinátákkal: $$K=k_1+k_2=k_3+k_4$$ $$k=\frac{k_1-k_2}{2}$$ $$k\text{'}=\frac{k_3-k_4}{2}$$ Ekkor $$i{\omega }_N=i{\omega }_{n_1}+i{\omega }_{n_2}=i{\omega }_{n_3}+i{\omega }_{n_4}$$ $$z-2\left(e_{k+q}-\mu \right):=\hslash \left(i{\omega }_{n_1}+i{\omega }_{n_2}-{\hslash }^{-1}\left(e_{k_1-q}+e_{k_2+q}-2\mu \right)\right)=i\hslash {\omega }_N-\frac{{\hslash }^2{K}^2}{4m}$$ illetve $$\Gamma \left(k_1,k_2,k_3,k_4\right)\to \Gamma \left(k,k\text{'},K,z\right)$$

Ekkor az jön ki, hogy $$\Gamma \left(k,k\text{'},K,z\right)=v\left(k-k\text{'}\right)+{\displaystyle \int v\left(q\right)\frac{F_{(+)}\left(K,k-q\right)}{z-2\left(e_{k+q}-\mu \right)}\Gamma \left(k-q,k\text{'},K,z\right)}\frac{d^{3}q}{{\left(2\pi \right)}^3}$$ (3) melyben