Bose-Einstein kondenzáció

Vizsgálódásunk elején tegyük fel, hogy elég nagy hőmérsékleten vagyunk! A korábbiakat, Soktestprobléma I előadáson tanultakat idézzük fel! Bozonokra a Hamilton operátor: $$H=\underset{H_0}{\underbrace{{\displaystyle \sum _{k,s}{e}_k{a}_{k,s}^{+}{a}_{k,s}}}}+\underset{H_1}{\underbrace{\frac{1}{2V}{\displaystyle \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k,k\text{'},q}{s,s\text{'}}}{a}_{k+q,s}^{+}{a}_{k\text{'}-q,s\text{'}}^{+}{a}_{k\text{'},s\text{'}}{a}_{k,s}}}}$$ ahol $H_1$ perturbáció.

Nagykanonikus sokaság termodinamikai potenciálja: $K=H-\mu N=K_0+K_1$ , ahol $K_0=H_0-\mu N$ . A perturbálatlan, $H_0$ -hoz tartozó rendszer Green-függvénye, vagyis a szabad Green-függvény is tavalyról ismeretes: $$G_0\left(k,i{\omega }_n\right)=\frac{1}{i{\omega }_n-{\hslash }^{-1}\left(e_k-\mu \right)}$$ ahol bevezettük a $e_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$ jelölést. A teljes rendszer Green-függvénye pedig $$G\left(k,i{\omega }_n\right)=\frac{1}{i{\omega }_n-{\hslash }^{-1}\left(e_k-\mu \right)-\Sigma \left(k,i{\omega }_n\right)}$$ valamint a teljes részecskeszám: $$N\left(T,V,\mu \right)=V{\displaystyle \int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{-1}{\beta \hslash }{\displaystyle \sum _{n}G\left(k,i{\omega }_n\right)e^{i{\omega }_n\eta }}}$$ ahol $\eta$ a konvergencia faktor, ami az időrendezés sorrendjét állítja be (azaz a számolások végén elvégezhetjük a $\underset{\eta \to 0}{\lim }$ határesetet).

A részecskék száma a Bose-Einstein eloszlás alapján: $$N\text{'}\left(T,V,\mu \right)=V{\displaystyle \int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{1}{e^{\beta \left(e_k-\mu \right)-1}}}$$ , melyben az integrandust a $$-\frac{1}{\beta \hslash }{\displaystyle \sum _{k}G\left(k,i{\omega }_n\right)}=\frac{1}{e^{\beta \left(e_k-\mu \right)}}$$ összefüggésből kaptuk. Az integrális kifejezés akkor helyénvaló, ha a betöltési-szám függvény elég sima. Bose-Einstein kondenzáció felléptekor pont ez a közelítés nem alkalmazható, ugyanis a legalacsonyabb energiás állapot betöltöttsége makroszkópikus lesz. A későbbiekben majd úgy számolunk, hogy az integrálást tulajdonképp a $k\ne 0$ állapotokra kell csak elvégezni, a $k=0$ esetet pedig külön kiszámolni Ugyanakkor elvégezhetjük az integrálást a teljes impulzustérre, hisz egy pontot kihagyva (aminek a mértéke 0) az integrál értéke nem változik az integrandus exponenciális függése miatt.

Tudjuk, hogy $\mu \le 0$ stabilitási feltételnek teljesülnie kell. Ahhoz, hogy $N$ visszaadja valóban a teljes részecskeszámot, ehhez hozzá kell még adni a $k=0$ állapotú részecskéket, így a teljes részecskeszám $T<T_{BEC}$ hőmérsékleten: $N\left(T,V,\mu =0\right)=N\text{'}+N_0$ , ahol $N_0$ a Bose-Einstein kondenzációban (BEC) lévő részecskék száma, hullámszámvektoruk $k=0$.

Hartree-közelítés

$-\Sigma \left(k,i{\omega }_n\right)=\left(-{\hslash }^{-1}\right){\displaystyle \int \frac{d^{3}q}{{\left(2\pi \right)}^3}\underset{\frac{1}{e^{\beta \left(e_q-\mu \right)}-1}=n^{\left(0\right)}\left(q\right)}{\underbrace{\frac{1}{\beta \hslash }{\displaystyle \sum _m-G_0\left(q,i{\omega }_n\right)e^{i{\omega }_n\eta }}}}\cdot v\left(0\right)}$ , ahol ${\omega }_n=\frac{2\pi n}{\beta \hslash }$ a Matsubara-frekvencia. $\hslash \Sigma \left(k,i{\omega }_n\right)={\displaystyle \int \frac{d^{3}q}{{\left(2\pi \right)}^3}v\left(0\right)n^{\left(0\right)}\left(q\right)}$ , melyből $v\left(0\right)$ kivihető az integrálás elé, így $$-\Sigma \left(k,i{\omega }_n\right)={\displaystyle \int \frac{d^{3}q}{{\left(2\pi \right)}^3}v\left(0\right)n^{\left(0\right)}\left(q\right)}=v\left(0\right)n$$ ahol $n=N/V$ .

A Hartree-propagátor így: $$G^H\left(k,i{\omega }_n\right)=\frac{1}{i{\omega }_n-{\hslash }^{-1}\left(e_k+nv\left(0\right)-\mu \right)}$$ ahol ${\omega }_n=\frac{2\pi m}{\beta \hslash }$

BEC.: $\mu =nv\left(0\right)$ , $e_k^H:=e_k+nv\left(0\right)$ $$G^H\left(k,i{\omega }_n\right)=\frac{1}{i{\omega }_n-{\hslash }^{-1}\left(e_k^H-\mu \right)}=\frac{1}{i{\omega }_n-{\hslash }^{-1}\left(e_k-{\mu }_0\right)}$$ ahol ${\mu }_0=\mu -nv\left(0\right)$ . Általánosan akkor következik be Bose-Einstein kondenzáció, amikor $\mu =\hslash \Sigma \left(\mathrm{0,0}\right)$ lesz.

$T_C$ meghatározása

$T=T_c$ épp akkor, amikor ${\mu }_0=0$ , de még $N_0=0$ . $$N=V\left(2s+1\right){\displaystyle \int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{1}{e^{{\beta }_c{e}_k}-1}}$$

ahol ${\beta }_c=\frac{1}{k_B{T}_{BEC}}$ . Számoljuk ki az integrált! Vezessük be a ${\beta }_C{e}_k=\frac{{\beta }_c{\hslash }^2{k}^2}{2m}=x^2$ , vagyis $x=\sqrt{\frac{{\beta }_c{\hslash }^2}{2m}}\cdot k$ rövidítést dimenziótlanítás végett! Ekkor $$N=\frac{V\cdot \left(2s+1\right)}{{\left(2\pi \right)}^3}4\pi {\left(\frac{2m}{{\beta }_c{\hslash }^2}\right)}^{3/2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}dx\frac{x^2}{e^{x^2}-1}}$$

Vezessük be: $t=x^2\Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow x^{2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{t}dt$ . Ekkor $$N=\frac{V\left(2s+1\right)}{4{\pi }^2}{\left(\frac{2m}{{\beta }_c{\hslash }^2}\right)}^{3/2}\underset{\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \zeta \left(\frac{3}{2}\right)}{\underbrace{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}dt\frac{t^{1/2}}{e^t-1}}}}\Rightarrow k_B{T}_{BEC}=\frac{{\hslash }^2}{2m}{\left(\frac{4{\pi }^2}{\left(2s+1\right)\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)\zeta \left[\left(\frac{3}{2}\right)\right]}\right)}^{2/3}\cdot {\left(\frac{N}{V}\right)}^{2/3}\approx \frac{{\hslash }^2}{{\left(2s+1\right)}^{2/3}}{n}^{2/3}\frac{\mathrm{3,31}}{m}$$ vagyis láthatjuk, hogy a kritikus hőmérséklet a Hartree-közelítésben nem változik az ideális gázmodell közelítéséhez képest.

$T_c$ alatti eset tárgyalása

$N=N_0+N\text{'}$ , ahol $N\text{'}=V\left(2s+1\right){\displaystyle \int \frac{d{k}^3}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{1}{e^{\beta e_k}-1}}=N{\left(\frac{T}{T_c}\right)}^{3/2}$ . Ekkor $N_0=N-N\text{'}=N\cdot \left(1-{\left(\frac{T}{T_c}\right)}^{3/2}\right)$ . Ez csak $T\approx T_c$ esetén igaz, mert minél kisebb $T$ , annál több atom lesz a kondenzátumban, márpedig mi a kölcsönhatást nem vettük figyelembe a kondenzátumban levő atomokra. Későbbiekben ezt figyelembe kell venni, azaz a kondenzált atom kondenzált atomon történő szóródását.

Kölcsönható Bose gáz 0 hőmérsékleten

Az előző képletet, ha megnézzük, $T=0$ esetén $N_0=N$ . Ha van kölcsönhatás is, az kiszór atomokat a kondenzátumból, de első közelítésben azt mondjuk, hogy ez nagyon kicsi, vagyis hogy $N_0\approx N$ , és hogy a kölcsönhatás nagyon gyenge. A Hamilton operátor az eddig felírt, azaz $$H={\displaystyle \sum _k{e}_k{a}_k^{+}{a}_k+\frac{1}{2V}{\displaystyle \sum _{k,k\text{'},q}v\left(q\right)a_{k+q}^{+}{a}_{k\text{'}-q}^{+}{a}_{k\text{'}}{a}_k}}$$ ahol $a_0|BEC\rangle =\sqrt{N}{|BEC\rangle }_{N-1}$ , melyben $|BEC\rangle =|N\mathrm{,0,0,...}\rangle$ . Ugyanígy $a_0^{+}{|BEC\rangle }_N=\sqrt{N+1}{|BEC\rangle }_{N+1}$ . Bogo azt mondta, hogy $N-1\approx N\approx N+1$ ha $N\to \infty$ . Ekkor az ún. Bogoljubov-előírás: $a_0=a_0^{+}=\sqrt{N}$ . (Tudjuk, hogy $\left[a_k,a_{k\text{'}}^{+}\right]={\delta }_{k,k\text{'}}$ , azaz $\left[a_0,a_0^{+}\right]=1$ , most pedig $\left[a_k,a_{k\text{'}}^{+}\right]=0$ , azaz a felcserélési relációt elrontjuk. A hiba $1/N$ -es , de ez nem olyan nagy, mert ekkora hibát akkor is elkövetünk, ha azt mondjuk, hogy egy véges rendszerben fázisátalakulás megy végbe, pedig végesben ez sosem megy végbe). Cseréljük le ezeket az operátorokat a Hamilton operátorban! Vegyük figyelembe, hogy mely kombinációkban fordulhatnak elő a keltő és eltüntető operátorok 0 indexű változatai! Ekkor $$H={\displaystyle \sum _k{e}_k{a}_k^{+}{a}_k}+\frac{1}{2V}{\displaystyle \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{k,k\text{'},q}{k\ne 0\ne k\text{'}}}{\genfrac{}{}{0ex}{}{k+q\ne 0}{k\text{'}-q\ne 0}}}v\left(q\right)a_{k+q}^{+}{a}_{k\text{'}-q}^{+}{a}_{k\text{'}}{a}_k+\sqrt{\frac{n_0}{V}}{\displaystyle \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{k,q}{k\ne 0}}{\genfrac{}{}{0ex}{}{k+q\ne 0}{q\ne 0}}}v\left(q\right)\left(\underset{\text{ha }k\text{'}=q}{\underbrace{a_{k+q}^{+}{a}_q{a}_k}}+\underset{\text{ha }k\text{'}=0}{\underbrace{a_{k+q}^{+}{a}_{-q}^{+}{a}_k}}\right)}}+$$ $$+n_{0}v\left(0\right)\stackrel{n\text{'}}{\overbrace{{\displaystyle \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{k\ne 0}}\underset{\text{ha }q=0\text{ és }k\text{'}=0}{\underbrace{a_k^{+}{a}_k}}}}}+n_0{\displaystyle \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{q\ne 0}}v\left(q\right)\underset{\text{ha }k=0\text{ és }q=k\text{'}}{\underbrace{a_q^{+}{a}_q}}}+\frac{1}{2}{n}_0{\displaystyle \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{q\ne 0}}v\left(q\right)\left(\underset{\text{ha }k\text{'}=k=0}{\underbrace{a_q^{+}{a}_{-q}^{+}}}+\underset{\text{ha }-k=q=k\text{'}}{\underbrace{a_q{a}_{-q}}}\right)}+\underset{\text{ha }k=k\text{'}=0\text{ és }k=q}{\underbrace{\stackrel{\approx \frac{V}{2}{n}^{2}v\left(0\right)-2\frac{V}{2}n\text{'}{n}_{0}v\left(0\right)}{\overbrace{\frac{V}{2}{n}_0^{2}v\left(0\right)}}}}$$ ahol $n_0=N_0/V$ és $n\text{'}=N\text{'}/V$ . Feltételezzük, hogy a 2. és 3. tagok kicsik, valamint az $n_0$ -t nem tartalmazó tagokat elhagytuk. Jó lenne, ha $n_0$ -t eliminálhatnánk. Feltettük, hogy $n\text{'}\ll n_0$ , emiatt $n=n_0+n\text{'}\approx n_0$ , illetve $n^2={\left(n_0+n\text{'}\right)}^2=n_0^2+2n_{0}n{\text{'}}^2\approx n_0^2+2n_{0}n\text{'}$ . Ezt írjuk be a Hamilton operátorba, s írjuk be a közelítéseket! $$H=\frac{V}{2}{n}^{2}v\left(0\right)+{\displaystyle \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{k\ne 0}}\left(e_k+nv\left(k\right)\right)a_k^{+}{a}_k}+\frac{1}{2}n{\displaystyle \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{k\ne 0}}v\left(k\right)\left(a_k{a}_{-k}+a_k^{+}{a}_{-k}^{+}\right)}+\frac{1}{2}n{\displaystyle \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{k\ne 0}}v\left(k\right)\left(a_k{a}_{-k}+a_k^{+}{a}_k^{+}\right)}$$ Szeretnénk diagonalizálni ezt a Hamilton operátort, azaz $$H={\displaystyle \sum _{k}E\left(k\right){\alpha }_k^{+}{\alpha }_k+E_0}$$ alakra hozni, ahol ${\alpha }_k|BEC\rangle =0$ . Vegyük ${\alpha }_k$ és ${\alpha }_k^{+}$ -nak a következőket, majd ellenőrizzük le a felcserélési relációkat: ${\alpha }_k=u_k{a}_k-v_k{a}_{-k}^{+}$ , illetve ${\alpha }_{-k}^{+}=u_k{a}_{-k}^{+}-v_k{a}_k$ , tegyük fel továbbá, hogy $u_k=u_k$ és $v_k=v_k$ , azaz $k$ -nak csak az abszolút értékétől függ, illetve $u_k$ és $v_k$ is valós. Kell, hogy teljesítsék a felcserélési relációt, azaz $\left[{\alpha }_k,{\alpha }_{k\text{'}}^{+}\right]={\delta }_{k,k\text{'}}$ . A definíciójukból eredően ez feltételt ró $u_k$ és $v_k$ paraméterekre: $$\left[{\alpha }_k,{\alpha }_{k\text{'}}^{+}\right]=u_k{u}_{k\text{'}}\left[a_k,a_{k\text{'}}^{+}\right]-v_k{v}_{k\text{'}}\left[a_{-k\text{'}},a_{-k}^{+}\right]=\left(u_k^2-v_k^2\right){\delta }_{k,k\text{'}}\Rightarrow \begin{array}{||}\hline u_k^2-v_k^2=1\\ \hline\end{array}$$ Ezek segítségével algebrai úton kifejezhető az eredeti keltő és eltüntető operátor: $$a_k=u_k{\alpha }_k+v_k{\alpha }_{-k}^{+}$$ $$a_k^{+}=u_k{\alpha }_k^{+}+v_k{\alpha }_{-k}$$ Ekkor a Hamilton-operátort a $H=U+H_{11}+H_{20}$ alakban írhatjuk, ahol $$U=\frac{V}{2}{n}^{2}v\left(0\right)+{\displaystyle \sum _k\left[\left(e_k+nv\left(0\right)\right)v_k^2+nv\left(k\right)u_k{v}_k\right]}$$ $$H_{11}={\displaystyle \sum _k\left[\left(e_k+nv\left(k\right)\right)\left(u_k^2+v_k^2\right)+2nv\left(k\right)u_k{v}_k\right]{\alpha }_k^{+}{\alpha }_k}$$ $$H_{20}={\displaystyle \sum _k\underset{\text{ez legyen }=\mathrm{0,}\text{ mert akkor }H\text{ diagonális lesz}}{\underbrace{\left[\left(e_k+nv\left(k\right)\right)u_k{v}_k+\frac{1}{2}nv\left(k\right)\left(u_k^2+v_k^2\right)\right]}}}\left({\alpha }_k{\alpha }_{-k}+{\alpha }_k^{+}{\alpha }_{-k}^{+}\right)$$ Ezeknek a megoldása, vagyis a $$u_k^2-v_k^2=1$$ $$\left(e_k+nv\left(k\right)\right)u_k{v}_k+\frac{1}{2}nv\left(k\right)\left(u_k^2+v_k^2\right)=0$$ egyenletrendszernek: $u_k=\mathrm{ch}{\chi }_k$ , illetve $v_k=\mathrm{sh}{\chi }_k$ , ahol ${\chi }_k$ tetszőleges függvény. Erre a ${\chi }_k$ -ra további megszorításokat tehetünk.