Tüzes Dániel

Exponenciális eloszlású folyáshatárokkal végzett szimulációk

Folyáshatárok eloszlása

A legtöbb szimulációt olyan folyáshatárokkal végeztem, ahol azok értékeit exponenciális eloszlásból válaszottam. Ennek két oka volt:

egyetlen paraméterrel jellemezhető, egyszerű eloszlás
számítási költsége alacsony, így a program gyors maradhat

Vannak eredmények hatványfüggvény lecsengésű disztribúciók esetére, míg mások fél-Gauss eloszlást használtak. DDD vizsgálataink azt mutatták azonban, hogy Weibull-disztrubíciót lenne még érdemes vizsgálni, mely szerencsére szintén C++-os szabvány 2011 óta.

A modell egyéb jellemzői

Különböző szimulációkat készítettem (1-1-ben gyakran több 1000 mérésre átlagolva), melyek egymástól általában csak 1 dologban különböztek. A kiinduló rendszer paraméterei:

exponenciális eloszlású, $λ = 0.2$ paraméterű, tehát 5 várható értékű folyáshatár-eloszlás
1-es deformáció növekmény (DG)
2 hatvány méretű rendszerek, 128-tól kezdve
0 deformációjú kezdeti állapot
1 cella megfolyatása után újra meghatározom, hogy hol folyik meg leginkább a minta, tehát a deformációt a lavinában DG-nként növeltem

Feszültség függés

Korábbi kutatások megmutatták, hogy bármilyen külső feszültség esetén a lavinák méreteloszlása hatványfüggvény eloszlású egy adott mérettartományban, egy adott méret fölött (levágási méret) pedig exponenciálisan levág. A levágási méret értéke függ a külső feszültségtől, és egy adott értékhez közeledve a végtelenhez tart (a véges számú szimuláció esetén ez azt jelenti, hogy az összes, statisztikai mennyiségben előforduló, adott méretű lavinák mind hatványfüggvény eloszlást követnek, a méret nem vág le).

A lavinaméret-eloszlás feszültség függését vizsgálva a korábbi megállapításokat alátámasztjuk.

**Fig1a**: 128×128-as rendszerméret esetén a lavinastatisztika. A 64-es rendszerre a görbék nem néznek ki ilyen jól. A nagy feszültség értéknél a görbék "felhajlanak".

**Fig1b:** 256×256-os rendszerméret esetén a lavinastatisztika.

**Fig1c:**512×512-es rendszerméret esetén a lavinastatisztika.

**Fig1d:** 1024×1024-es rendszerméret esetén a lavinastatisztika. A nagy feszültség értékeknél tovább marad a hatványfüggvény eloszlás, mint a 128-as rendszerméret esetén.

A lavina méretek egészek, és a $[0, 1)$ tartományban vett lavinák vannak feltüntetve a 0.5-nél.
Forráskód a 4 ábrához.

Régi ábra mutatása

**Fig1-3**: Lavinaméret eloszlás függése a külső feszültségtől.
Látható, hogy nagyobb feszültségnél a levágás értéke is nagyobb.
Közeledve a folyáshatárhoz, a levágás tolódik a nagyobb lavinák felé.
forráskód

Rendszerméret függés

A lavinaméret-eloszlás rendszerméretfüggését vizsgálva azt tapasztalhatjuk, hogy nagyobb rendszereknél a levágási méret értéke is nő. Ez nem összeegyeztethető a diszlokáció-lavinákra eddig alkalmazott depinning-modellel, mely nem tartalmazott a rendszerméret-függő tagokat.

Azonban a levágási méret nagy a vizsgált minta méretéhez képest, ami azt jelenti, hogy a deformációkat egy vonal mentén elrendezve az a mintát (1D mentén) többször körbeérné, vagyis a lavina feltehetőleg többször körbehalad a mintán, és önkölcsönhatás léphet fel, ezért érdemes volna nagyobb méretű rendszereket vizsgálni. Jellemző, hogy a levágási méret a megfolyási feszültség tizede környékén már összevethető a rendszer méretével, a felénél pedig már több tízszerese is lehet.

**Fig3.** Lavinaméret-eloszlás a rendszermérethez viszonyítva különböző méretű rendszereknél. A nagyobb rendszerknél a relatív-lavina méret kisebb. Sajnos azonban lassan csökken a relatív lavina méret, így csak nagy számolás árán érhető el, hogy a lavinák a rendszerhez képest kicsik legyenek.
forrás **Fig2**-vel együtt

Nagyobb rendszerrel való vizsgálódás akkor jelent megoldást az aggodalmak enyhítésére, ha a levágási méret lassabban nő, mint a rendszer lineáris mérete. A mérések szerint ez teljesül, így érdemes még nagyobb rendszereket vizsgálni.

Feszültség-deformációs görbék

Vizsgáltam a kiátlagolt feszültség-deformációs görbéket, melyeket több 1000 mérésből átlagoltam össze. 1-1 szimulációnál az sejthető, hogy az exponenciális eloszlás által bevezetett feszültség skála (az eloszlás lambda paramétere) kétszeresénél az addigi össz deformációt lényegesen meghaladó, végtelen nagynak tekinthető lavinák keletkeztek.

**Fig4b**: a feszültség-deformációs görbék a **Fig4**-es ábrán el vannak egymáshoz képest tolva,
de a valódi viszonyuk az ott ábrázoltnak megfelelő.

A kiátlagolt görbéken az látható, hogy a görbe ellaposodik, egy konstans értékhez tart, a minta megfolyik. A logaritmikus ábrázoláson az látható, hogy nem hatványfüggvény szerint tart ehhez a konstans értékhez.

A belső feszültségeloszlásról készült hisztogram a különböző deformációs értékek mellett. Érdemes volna ugyanakkor megvizsgálni a belső feszültségek folyáshatárhoz képesti értékének eloszlását is.

Deformáció-növekmény megválasztása

Konklúzió: a deformáció megválasztásának módja nem befolyásolja lényegesen a statisztikai paramétereket, ugyanakkor alapvető fonrosságú a negatív lavinák méretének szabályozásában. Az a deformációs érték megválasztási mód tűnik helyesnek, amikor a deformációt úgy választjuk meg, hogy a helyi feszültség 0 legyen a deformációt követően.

Leírás: a szimulációban ha egy cellában a külső dipólok $τ_{loc}$ és a külső feszültség $τ_{ext}$ feszültségértékeének összege meghaladja a lokális $τ_{foly}$ folyáshatár értékét, azaz $τ_{ext} + τ_{loc} > τ_{foly}$ , akkor a deformációnak a cellában nőnie kell. A deformáció növekmény megválasztását többféleképp is elvégezhetjük.

Lavinastatisztika és feszültség-deformációs görbék a deformáció-növekmény konkrét konstans értékeinél

**Fig4a.** Feszültség-deformációs görbe és összetétele pozitív és negatív deformációkból 1-1 konkrét szimulációnál, és kiátlagolva, valamint a lavinastatisztika. DG: cella deformációjának változása a cella megfolyása során.
forrás

A deformáció-növekmény kis értéke esetén egy konkrét feszültség-deformációs görbén láthatóan kisebbek a lavinák, és kevés a negatív lavina, míg nagy deformáció-növekmény értékek esetén jóval nagyobbak a lavinák, és a negatív lavinák aránya is jóval nagyobb.

A lavinastatisztikában a rendszerméret környékén a görbe "megvastagodik", azaz egyik lavinaméretnél kisebb, a rákövetkezőnél nagyobb a gyakoriság. Ezt a véges rendszerméret okozhatja: a lavinák gyakran 1 vonalban gerjesztődnek, és egy sor gerjesztés után nagyobb eséllyel állnak meg. Vagy ha nem állnak meg épp, akkor már inkább folytatják...

Lavinastatisztika és feszültség-deformációs görbék a deformáció-növekmény eloszlásból vett értékeinél

**Fig4b.** Feszültség-deformációs görbe és összetétele pozitív és negatív deformációkból 1-1 konkrét szimulációnál, és kiátlagolva, valamint a lavinastatisztika (50 szimulációra átlagolva, 128-as rendszerméret). DG: cella deformációjának változásának megválasztásához használt eloszlás paramétere.
forrás

Különböző hatótávolságú deformációk

A rácsban keltett deformációk diszlokáció dipólok, melyek feszültségterének lecsengése $1 / r$ -es. A dipól kristályos anyagban jól értelmezhető, azonban általánosítható amorf anyagokra is, illetve vizsgálható, hogyan viselkedik a rendszer, ha nem a dipólnak megfelelő feszültségeteret használjuk.

Vizsgáltam a különböző hatótávolságú rácshibákkal a rendszert, ezek:

extrém rövid hatótávolságú (csak a szomszédos pontokkal kölcsönható), local
$1 / r$ -es lecsengésű, de a diszlokáció dipólokkal ellentétben (szögben) izotróp, isotropic
extrém nagy hatótávolságú (mindegyik ponttal egyformán kölcsönható), meanfield

Feszültségterek ábrázolása

**Fig6a:** izotróp feszültségeloszlás logaritmikus színskálán. A (0,0) pont értké -1.8379, máshol pozitív, átlaga 0.

**Fi6b:** extrém rövid hatótávolságú kölcsönhatás. A (0,0) pontban értéke -2, a szomszédjaiban 0.25, amúgy 0.

**Fig6c:** Extrém hosszú hatótávolságú kölcsönhatás.

meanfield:A (0,0) pontban az értéke -2, máshol pozitív konstans, és átlaga 0.

meanfield_const : A (0,0) pontban az értéke 2.0/(128*128-1), középen pedig ezek összegének -1 szerese

Feszültségterek ábrázolása a 128x128-as rendszerekre. A 128. sor és oszlop is meg van jelenítve.
forrás mind 3 ábrához

Érdemes összevetni a lavinastatisztikákat a dipólteres feszültségtérrel.

Régi lavinastatisztikák a 256-os rendszerre

**Fig7a:** izotróp feszültségtér esetén a lavinastatisztika.

**Fig7b:** extrém rövid hatótávolságú kölcsönhatás esetén a lavinastatisztika.

**Fig7c**: extrém hosszú hatótávolságú kölcsönhatás esetén a lavinastatisztika.

80-as lavina méret fölött logaritmikusan, 101.25% széles binekkel végzett osztályozás. Érdemes megjegyezni, hogy a 0 méretű lavinából kevesebb van, mint az 1 méretűből. A normálás az összes előforduló lavinát tekintve végeztem, mivel azonban egyesek extrém nagyok, s nem vesznek részt a hisztogramban, ezért az ábrázolt eloszlás nem 1-re normált elméletben, gyakorlatban viszont igen.
Forrás mind a 3 ábrához

Lavinastatisztikák

**Fig8a**: izotróp feszültségtér esetén a statisztika.

**Fig8b**: local feszültségtér esetén a statisztika.

**Fig8c**: meanfield feszültségtér esetén a statisztika.

A local és a meanfield esetén nem nő a rendszermérettel a levágás. Meglepő, mert meanfield esetén nőnie kéne.
Forrás az ábrákhoz

Azt láthatjuk, hogy a meanfield esetén nem nőtt a levágás a rendszermérettel. A magyarázat az lehet, hogy a nagyobb renszerméret esetén a meanfield térnél az origóban vett értéket tartottuk állandónak, a távoliakat kisebbnek választottuk. A releváns program részlet:

for(int i=0; i<N; ++i)
	for(int j=0; j<N; ++j)
	{
	//Mean field
	sprintf(fname, "meanfield_N%d.dat", N);
	if(i!=0 || j!=0)
		x[i][j] = 2.0/(N*N-1);
	
	if(i!=0 || j!=0)
		s += x[i][j];
	}
	
x[0][0] = -s;

Újabb futtatásokat végezve, melyben a távoli értékét a feszültségtérnek állandónak vettük, és a 0-ben vett értékét módosítottuk úgy, hogy az átlaga 0 legyen, a jelenség ...

**Fig8d**: a feszültségtér rendszermérettel való más skálázásával a lavinastatisztika rendszerméretfüggését is változtathatjuk.
Forrás az ábrákhoz

Az új térnél használt kód releváns része:

for(int i=0; i<N; ++i)
    for(int j=0; j<N; ++j)
    {
    //Mean field const
    sprintf(fname, "meanfield_const_N%d.dat", N);
    if(i!=0 || j!=0)
        x[i][j] = 2.0/(128*128-1);
    
    if(i!=0 || j!=0)
        s += x[i][j];
    }

x[0][0] = -s;

Korrelációk vizsgálata

Deformációs és lokális feszültség térképek autokorrelációi

Legelőször az av_max_DGamma szimulációk eredményeit értékeltem ki, melyet Péter be is mutatott egy konferencián. Azonban mint kiderült, az autokorrelációt hibásan számoltam ki: a Fourier transzformáció után nem abszolút érték négyzetet, hanem abszolút értéket számoltam. A hibás eredmény szerint kicsi x-ekre $A (x) = C + \frac{1}{x^{2}}$ , mind a deformációra, mint a lokális feszültségre.

A helyes autokorrelációs számítások eredménye alapján az látható, hogy a $A (x) = C + \frac{1}{x^{2}}$ összefüggés továbbra is igaznak bizonyul kicsi x-ekre. Leellenőriztem, hogy az új kód pontosan csak abban különbözik a régitől, hogy abszolút érték négyzetet számol ott, ahol kell.

Deformációs térkép autokorrelációja nagy deformációnál az av_max_DGamma szimulációnál — **Deformációs** térképek autokorrelációja 512-es rendszerméret esetén a av_max_DGamma szimulációnál 10000-es és 100-as deformáció értéknél (a helyes összefüggéssel számolva). Látható, hogy itt is igaz, hogy $A (x) = C + \frac{1}{x^{2}}$ kicsi x-ekre.
reMap nélküli eredmény (nagy, kicsi)
forrás (nagy, kicsi)

Deformációs térkép autokorrelációja alacsony deformációnál az av_max_DGamma szimulációnál — **Deformációs** térképek autokorrelációja 512-es rendszerméret esetén a av_max_DGamma szimulációnál 10000-es és 100-as deformáció értéknél (a helyes összefüggéssel számolva). Látható, hogy itt is igaz, hogy $A (x) = C + \frac{1}{x^{2}}$ kicsi x-ekre.
reMap nélküli eredmény (nagy, kicsi)
forrás (nagy, kicsi)

Lokális feszültség térkép autokorrelációja nagy deformációnál az av_max_DGamma szimulációnál — **Lokális feszültség** térképek autokorrelációja 512-es rendszerméret esetén a av_max_DGamma szimulációnál 10000-es és 100-as deformáció értéknél (a helyes összefüggéssel számolva). Látható, hogy itt is igaz, hogy $A (x) = C + \frac{1}{x^{2}}$ kicsi x-ekre.
reMap nélküli eredmény (nagy, kicsi)
forrás (nagy, kicsi)

Lokális feszültség térkép autokorrelációja alacsony deformációnál az av_max_DGamma szimulációnál — **Lokális feszültség** térképek autokorrelációja 512-es rendszerméret esetén a av_max_DGamma szimulációnál 10000-es és 100-as deformáció értéknél (a helyes összefüggéssel számolva). Látható, hogy itt is igaz, hogy $A (x) = C + \frac{1}{x^{2}}$ kicsi x-ekre.
reMap nélküli eredmény (nagy, kicsi)
forrás (nagy, kicsi)

Az av_sym_oneway szimulációknál azonban más a helyzet. Itt a deformációt nem úgy választottuk meg, hogy a helyi feszültség 0-ra csökkenjen a deformációt követően, hanem úgy, hogy a deformáció értéke konstans 1 legyen, és csak az egyik irányban engedjük meg a megfolyást.